DETERMINE O INTERVALO EM QUE A FUNÇÃO: H(X)=∫0X22X+4(1+X) DX É ESTRITAMENTE CRESCENTE. A) x < 0 B) x > 0 C) – 1 < x < 1 D) x < – 3

Para determinar o intervalo em que a função \( H(x) = \int_0^x (2x + 4(1 + x)) \, dx \) é estritamente crescente, precisamos analisar a derivada da função. A função \( H(x) \) é estritamente crescente quando sua derivada \( H'(x) \) é maior que zero. Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, temos: \[ H'(x) = 2x + 4(1 + x) \] Simplificando a derivada: \[ H'(x) = 2x + 4 + 4x = 6x + 4 \] Agora, para encontrar onde \( H'(x) > 0 \): \[ 6x + 4 > 0 \] \[ 6x > -4 \] \[ x > -\frac{2}{3} \] Portanto, a função \( H(x) \) é estritamente crescente para \( x > -\frac{2}{3} \). Analisando as alternativas: A) \( x < 0 \) - Não é correto, pois inclui valores menores que \(-\frac{2}{3}\). B) \( x > 0 \) - Correto, pois está dentro do intervalo onde a função é crescente. C) \( -1 < x < 1 \) - Inclui valores que não são estritamente crescentes. D) \( x < -3 \) - Não é correto, pois não está no intervalo desejado. A alternativa correta é: B) x > 0.