Integrais_ Conceitos, Propriedades e Técnicas de Integração

Prévia do material em texto

/
DEFINIÇÃO
Aplicação do conceito de integração de funções reais e do teorema fundamental do cálculo.
PROPÓSITO
/
Determinar a integração Indefinida e Definida e aplicar tais conceitos na resolução de problemas de integração por meio de algumas
técnicas de integração: substituição de variáveis, integração por partes e frações parciais.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Aplicar o conceito da integral indefinida, definida e do teorema fundamental do Cálculo
MÓDULO 2
Empregar a técnica de integração por substituição de variável na resolução de problemas envolvendo integrais
/
MÓDULO 3
Aplicar a técnica de integração por partes na resolução de problemas envolvendo integrais
MÓDULO 4
Empregar a técnica de integração por frações parciais na resolução de problemas envolvendo integrais
MÓDULO 1
 Aplicar o conceito da integral indefinida, definida e do teorema fundamental do Cálculo
INTRODUÇÃO
A integração de uma função real é uma operação com diversas aplicações práticas.
Este módulo analisará a integração indefinida e a integração definida.
Integração indefinida
Também conhecida como antiderivada, é oriunda da operação inversa da derivação, e tem como resultado uma família de funções.
/

Integração definida
É oriunda de um somatório, denominado de Soma de Riemann, e tem como resultado um número real.
Por fim, será apresentado o teorema fundamental do cálculo, que permitirá a relação entre os dois tipos de integração e o cálculo
das integrais definidas de uma forma mais direta.
INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
O primeiro conceito que se deve ter para estudar a operação da integração Indefinida é o conceito da antiderivada de uma função.
Assim, uma função F(x) é denominada de antiderivada ou primitiva de uma função f(x) em um intervalo I se F’(x) = f(x) para todo x
do intervalo I. Assim, por exemplo, F(x) = x2 é uma função primitiva, em todo conjunto real, da função f(x) = 2x , pois F’(x) = 2x = f(x),
para todo x real.
Mas repare que a função G(x) = x2 + k, k real, também será primitiva de f(x) = 2x. Isso ocorre porque a derivada de um número real
é zero, assim G’(x) = F’(x) = f(x). A conclusão é que não existe apenas uma antiderivada de uma função, mas uma família de
antiderivadas.
TEOREMA
/
SE F(X) FOR ANTIDERIVADA DE F(X) EM UM INTERVALO I, ENTÃO
TODA FUNÇÃO QUE PERTENCE À FAMÍLIA DE FUNÇÕES F(X) + K,
K REAL, É UMA ANTIDERIVADA DE F(X) EM I.
A família de primitivas ou antiderivadas de uma função será denominada de Integral Indefinida da função e usará uma notação 
.
Dessa forma, , k real, onde F(x) é uma primitiva de f(x), isto é, F’(x) = f(x).
O termo dentro do símbolo da integral, ou seja, f(x), é denominado de integrando. O diferencial dx determina em função de que
variável a antiderivada é obtida.
 ATENÇÃO
/
O resultado de uma integração indefinida é uma família de funções. Para se determinar uma função
específica, deve-se obter uma informação adicional, denominada de condição inicial, como, por exemplo, o
valor da função ou de sua derivada em um ponto do seu domínio.
EXEMPLO 1
Determine .
Repare o integrando f(x) = cos x. Assim, deve ser obtida uma primitiva de F(x), em outras palavras, qual a função cuja derivada é
cos x.
Sabemos das tabelas de derivação que F(x) = sen x →F’(x) = cos x.
Assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2
Determine a função g(x) da família de funções obtidas por , sabendo que g(0) = 1.
/
No exemplo anterior, já obtivemos a família de funções:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo g(0) = 0 + k = k.
Pelo enunciado, g(0) = 1, assim k = 1. Portanto,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
INTEGRAIS IMEDIATAS
Repare que no exemplo tivemos que obter a função cuja derivada era o integrando. Com isso, podemos definir uma tabela de
integrais cujos valores são conhecidos. Esta tabela é obtida diretamente pela operação contrária a derivação.
Estas integrais serão denominadas de imediatas, pois são obtidas diretamente das fórmulas das antiderivadas.
A tabela a seguir apresenta as integrais imediatas para as principais funções.
/
Se a integral não for uma integral imediata, terá que trabalhar com o integrando de forma a transformá-lo até se obter uma integral
imediata. Essa técnica é conhecida como método de primitivação ou técnica de integração e será estudada nos próximos
módulos.
/
PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS
Outro ponto importante é que as integrais indefinidas apresentam duas propriedades que são oriundas da antiderivação:
a) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
b) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 3
Determine .
Usando as propriedades:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Analisando as integrais, verifica-se que são integrais imediatas e conhecemos o resultado.
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(Repare que a derivada de é igual ao integrando)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(Repare que a derivada de é igual ao integrando)
Assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma forma de se verificar se a resposta está correta é derivar a resposta e comparar com o integrando, que deve ser igual. Observe
que a derivada de , em função de x, vale .
INTEGRAÇÃO DEFINIDA
/
Diferentemente do caso da integração indefinida, que tem como resultado uma família de funções, a integral definida tem como
resultado um número real. A integração definida foi criada inicialmente na busca do cálculo de áreas.
Um método adotado desde a Grécia antiga se baseava na substituição da região analisada por retângulos, de forma que esse
conjunto de retângulos cobrisse a região e, assim, pela soma das áreas dos retângulos, obtinha-se a área da região.
Veja as figuras a seguir.
Observe que a área entre a função f(x) e o eixo x está sendo coberta por um conjunto de retângulos. Conforme se diminui a largura
dos retângulos, o casamento da área e dos retângulos é melhor, e, dessa forma, graças a essa metodologia, o cálculo da área fica
mais preciso.
 
(Fonte: o Autor)
 SAIBA MAIS
Se trabalhássemos com retângulos com larguras tendendo a zero, otimizaríamos o casamento e o cálculo da
área ficaria preciso.
/
Vamos agora trabalhar este conceito por um somatório que será denominado de Soma de Riemann.
SOMA DE RIEMANN
Tomemos um intervalo [a,b].
Definimos a partição P de um intervalo [a, b] a um conjunto finito P = {u0, u1, ..., un} que divide [a,b] em n subintervalos [ui − 1, ui],
tal que a = u0∫02x3+4x+3x2+4dx=3[12arctgx2]02+[12x2]02=32arctg(1)-32arctg(0)+1222
=32π4-32+2=3π8+12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Determine o valor da integral:
∫1210x2+40x+12x(x+1)2dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS
/
6. Determine o valor de:
∫245(x – 1) (x2+4)dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
O integrando é uma função racional própria. O numerador Q(x) tem um par de raízes complexas e a raiz real 1.
Assim:
5(x – 1) (x2+4)=Ax-1+Bx+C x2+4=A(x2+ 4)+(Bx+C)(x-1)(x-1)(x2+4)=(A+B)x2+(C-B)x+(4A-C)(x – 1) (x2+4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se compararmos o denominador:
{A+B=0C-B=04A-C=5→A=1→B=-1 e C=-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∫245(x – 1) (x2+4)dx=∫241x-1dx+∫24-x-1x2+4dx=∫241x-1dx-∫24xx2+4dx-∫241x2+4dx
/
=[lnx-1]24-[12lnx2+4]24-[12arctgx2]24
=ln3-ln1-12ln20+12ln8-12arctg2+12arctg(1)=ln(3820)-12arctg2+π8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE A INTEGRAL:
∫XX2+X-2DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A)
A) 12ln|x+1|+23ln|x-2|+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) 12ln|x+2|+23ln|x-1|+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
/
B)
C)
C) 13ln|x-1|+23ln|x+2|+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) 13ln|x-2|+12ln|x-12|+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
2. DETERMINE O VALOR DE:
∫03X4+9X2+1X2+9DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) π4+3
B) π12+9
C) π4-9
D) π12-3
/
GABARITO
1. Determine a integral:
∫xx2+x-2dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
 
O integrando é uma função racional própria.
O numerador Q(x) = x2 + x – 2 = (x – 1) (x + 2) tem duas raízes reais sem multiplicidade.
Assim:
xx2+x-2=Ax-1+Bx+2=A(x+2)+B(x-1)(x-1)(x+2)=(A+B)x+(2A-B)x2+x-2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se compararmos o denominador:
{A+B=12A-B=0→B=2A→A=13 e B=23
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∫xx2+x-2dx=∫131x-1dx+∫231x+2dx=13ln|x-1|+23ln|x+2|+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine o valor de:
∫03x4+9x2+1x2+9dx
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
 
O integrando é uma função racional imprópria, pois o grau do numerador é maior do que o grau do denominador. Para transformá-lo
em fração própria, deve-se dividir o numerado pelo denominador ou observar que:
P(x)=x4+9x2+1=x2(x2+9)+1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
P(X)q(X)=x2(x2+9)+1x2+9=x2(x2+9)x2+9+1x2+9=x2+1x2+9
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
∫03x4+9x2+1x2+9dx=∫031x2+9dx+∫03x2dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que as duas parcelas da direita já são integrais imediatas.
∫03x4+9x2+1x2+9dx=[13arctgx3]03+[13x3]03=13arctg(1)-13arctg(0)+1333
=13π4-0+9=π12+9
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
/
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao longo dos quatro módulos, foi possível definir e utilizar a operação da integração indefinida e definida. Inicialmente, foi analisada
a integração indefinida como a antiderivada que tem como resultado uma família de funções denominadas primitivas.
Posteriormente, determinou-se a integral definida, que tem como resultado um número real. Ela é obtida pelo limite de uma soma de
Riemann.
O Teorema Fundamental do Cálculo foi apresentado junto a sua grande importância no relacionamento do cálculo Integral,
principalmente na obtenção das integrais definidas de forma mais direta, usando as funções primitivas do integrando. No segundo,
terceiro e quarto módulos, foram introduzidas as principais técnicas de integração, que permitiram a resolução de integrais
indefinidas e definidas com integrandos mais complexos.
Acreditamos que, ao chegar ao fim deste tema, você seja capaz de aplicar a integração definida e indefinida nos diversos problemas
do cálculo integral.
REFERÊNCIAS
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo – Volume 1. 5 ed. São Paulo: LTC, 2013.
KHAN ACADEMY. Curso de Cálculo Integral – Integração. Consultado em meio eletrônico em 14 jul. de 2020.
/
LARSON, R.; EDWARDS, B.H. Cálculo – Com aplicações. 6 ed. São Paulo: LTC, 2003.
STEWART, J. Cálculo – Volume 1. 5 ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, pesquise:
Integração no site da Khan Academy.
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
javascript:void(0);área que é sempre positiva. Nesse caso, ela
corresponde a menos a área do retângulo.
As figuras a seguir apresentam este conceito desenhando apenas um retângulo.
 
(Fonte: o Autor)
Se cobrirmos toda a região com todos os retângulos correspondentes a cada partição, podemos dizer que a Soma de Riemann
poderia ser analisada como a soma das áreas de todos os retângulos acima do eixo menos a soma das áreas de todos os
retângulos abaixo do eixo, sendo uma boa aproximação para o valor da área acima do eixo menos a área abaixo do eixo.
/
 ATENÇÃO
No caso de termos apenas área acima dos eixos, a Soma de Riemann seria uma boa aproximação para área
entre a função f(x) e o eixo x, no intervalo do domínio de a até b.
É óbvio que essa aproximação ficará cada vez melhor conforme formos diminuirmos a base do retângulo, e isso se faz aumentando
a partição do intervalo que faz com que os subintervalos fiquem com largura menor. Se a maior amplitude do subintervalo tender
para zero, todos os subintervalos terão suas amplitudes tendendo para zero, assim teremos a melhor aproximação.
Chegamos ao momento de determinar a integração definida.
Definição: Seja f(x) uma função contínua definida no intervalo (a,b); seja a partição P = {u0, u1, ..., un}, deste intervalo, que divide
[a,b] em n subintervalos [ui − 1, ui], tal que a = u0utilize a rolagem horizontal
Para esta:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto são funções diferentes para cada intervalo.
Logo, não podemos integrar diretamente entre 0 e e devemos usar as propriedades da integral definida para determinar os
intervalos em que a função tem a mesma equação em todos os pontos.
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, integral:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
A área entre a função , o eixo x, para 0 ≤ x ≤ 2 pode ser obtida pela integral definida de f(x) entre 0 e 2.
Obtenha essa área.
RESOLUÇÃO
Como o enunciado indica, a área será dada por:
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando as propriedades da integral:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando as integrais imediatas:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE A INTEGRAL:
∫(3SEC X TG X-2COS X)DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
/
A)
A) 2cossec x+3 cos x+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) 3sec x-2 sen x+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 3sec2x+2 cos x+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) 3tg x+2 sen x+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
2. DETERMINE A FUNÇÃO G(3), SABENDO QUE G(X) FAZ PARTE DA FAMÍLIA DE FUNÇÕES
DEFINIDAS POR:
/
∫(1U+21+U2)DU E G(1)=Π
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 12ln6+7π3
B) ln3+π6
C) ln3-π6
D) 12ln3+7π6
3. SEJA:
H(X)=∫3X3 LNX2+2X2DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
DETERMINE O VALOR DE H’(2).
A) 31010ln2
B) 1010 ln 2-3
C) 3+1010ln2
D) 1010ln3
4. DETERMINE O VALOR DE:
/
∫12(3X2-4X-1+X)DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A)
A) 9+ln2+13(22+1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) 7-3ln2+23(2+1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 7-4ln2+23(22-1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) 9+4ln2+23(1-22)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
/
5. DETERMINE O VALOR DE:
∫02|X2+X-2|DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
6. DETERMINE O INTERVALO EM QUE A FUNÇÃO:
H(X)=∫0X22X+4(1+X) DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
É ESTRITAMENTE CRESCENTE.
A) x 0
C) – 1possibilita, portanto, solucionar a integral.
Essas técnicas são conhecidas como técnicas de integração ou de primitivação. Existem diversas técnicas e, neste tema,
analisaremos as três de maior abrangência.
Vamos conhecer a técnica de integração por substituição de variáveis, que usa uma filosofia de alterar a variável do integrando de
forma a transformá-la uma função de integral conhecida.
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
A técnica de integração é um conjunto de ferramentas que permite solucionar integrais cujo integrando não são funções com
primitivas conhecidas. Em outras palavras, são técnicas que permitem transformar a integral em uma integral imediata, de solução
conhecida.
/
 ATENÇÃO
A mesma integral pode ser solucionada por várias técnicas diferentes, bem como, em certas oportunidades,
existe a necessidade de se usar mais de uma técnica, uma após a outra, para solucionar a integral.
Imagine a técnica de integração como uma ferramenta, assim cada uma se aplica melhor a determinada situação. O conhecimento
de que técnica deve ser utilizada se adquire com a experiência obtida na resolução de grande número de integrais.
Na literatura que consta em nossas referências, existe uma gama de técnicas disponíveis. Este tema se limitará às três de maior
importância:
Substituição de variável

Integração por partes

Integração por frações parciais
A primeira técnica apresentada será a técnica de substituição de variável. Neste método, busca-se alterar a variável utilizada na
integral, de forma a transformar o integrando em uma função cuja primitiva é conhecida.
Esta técnica de alterar a variável é bastante ampla, podendo apresentar várias versões, cada uma com um conjunto de integrais
que podem ser aplicadas. Existem métodos que envolvem produtos de seno e cosseno, produtos de secante e tangente, supressão
de raízes quadradas etc.
/
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL
Seja uma integral , cuja variável de integração é a variável x, mas que não se conheça a primitiva de f(x), devendo,
portanto, empregar-se um método para o cálculo da integral.
A metodologia buscada por este método visa a encontrar uma função g(u) = x ou uma variável u = g(x) de forma a transformar a
integral em uma nova integral na variável u que seja imediata.
Ao realizarmos uma substituição de variável na integral, temos que levar em conta que devemos usar a regra da cadeia para a
substituição do diferencial.
Seja a função f(x) contínua, portanto, integrável, no intervalo I; seja a função g(u) com imagem no conjunto I, se utilizarmos a
mudança de variável pela função x = g(u), logo dx = g’(u) du, teremos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim a integral indefinida em x foi transformada em uma integral na variável u.
Para o caso da integral definida deve-se lembrar de alterar também os limites de integração.
Assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
/
Onde g(c) = a e g(d) = b.
EXEMPLO 1
Determine :
Observe que não se conhece a integral imediata para este integrando.
Mas, aplicando:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esta agora é uma integral imediata, logo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retornando para a variável inicial:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2
Determine :
Os primeiros passos foram realizados no exemplo anterior. Necessitamos apenas obter os novos limites:
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos usar também uma substituição do tipo . Considere a integral da qual não se conhece a primitiva de 
.
Se mudarmos a variável de forma que , então . Assim, deve-se tentar obter a função de tal
forma a se transformar a integral anterior:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Para o caso da integral definida, usa-se o mesmo raciocínio, apenas com o passo intermediário da
transformação dos limites de integração.
/
EXEMPLO 3
Determine o valor da integral :
Observe que não se conhece a primitiva do integrando, mas fazendo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retornando a variável inicial:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que, para verificar se está correta a resposta, pode-se derivar a resposta e comparar com o integrando analisado.
/
EXEMPLO 4
Determine o valor da integral:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os passos iniciais já foram dados no passo anterior, transformando os limites de integração:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como já comentado, existem métodos específicos para integrandos particulares que podem ser encontrados no tópico referências
deste tema. Para exemplificar, vamos apenas mencionar um caso.
Seja , com C real e m e n inteiros positivos. Repare que é um produto de senos e cossenos do
mesmo arco. Para o caso que se tenha pelo m ou n ímpares, podemos usar o seguinte método:
Fazer:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
/
Usar a relação fundamental e substituir:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, transformaremos o integrando em uma função polinomial cujas primitivas conhecemos.
Fazer:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usar a relação fundamental e substituir:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, transformaremos o integrando em uma função polinomial cujas primitivas conhecemos.
Escolher um dos casos anteriores.
 ATENÇÃO
Este método só não pode ser usado quando se tem m e n pares.
/
EXEMPLO 5
Determine a integral:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Verifique que é um produto de senos e cossenos do mesmo arco.
Como tanto o número que eleva o seno quanto o número que eleva o cosseno são ímpares, temos liberdade de escolher 
 ou . Se apenas um dos expoentes fosse ímpar, a variável u deveria ser, obrigatoriamente, igual à função
trigonométrica elevada ao expoente par.
Pelo método de substituição de variável para:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos lembrar também que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que agora se tem uma função polinomial cuja primitiva conhecemos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retornando à variável inicial:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
/
Um arquiteto precisava estimar a área entre uma linha de uma construção e o chão. Para isso, modelou a linha desejada aplicando
a função:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para 0 ≤ x ≤ 1, com h(x) e x medidos em metros. Sabendo que essa área pode ser obtida pela integral definida de h(x) entre os
valores de x dados, obtenha o valor.
RESOLUÇÃO
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL
MÃO NA MASSA
/
1. DETERMINE A INTEGRAL:
∫34X-53DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEMHORIZONTAL
A)
A) 98(4x-5)23+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) 981(4x-5)23+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 984x-5+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
/
D) 9414x-5+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
2. DETERMINE A INTEGRAL ∫01X2 E-X3DX:
A) 13+13e
B) 13-1e
C) 13+1e
D) 13-13e
3. DETERMINE A INTEGRAL:
∫SEN2X COS3X DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A)
A) sen3x3-sen5x5+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
/
B)
B) coscos x 5-cos5x3+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) sen3x5+sen5x3+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) cos3x3-cos5x5+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
4. DETERMINE O VALOR DE:
∫(X3+1)COS(X4+4X)DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A)
A) 14cos(x4+4x)+k, k real
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) sen(x4+4x)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 14sen(x4+4x)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) cos(x4+4x)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
5. DETERMINE O VALOR DA INTEGRAL:
∫013U1+U4DU
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
/
A) 3π5
B) 3π8
C) 5π8
D) π8
6. DETERMINE A INTEGRAL:
∫6X-18X2-6X+7DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A)
A) 3ln |x|+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) ln |x2-6x+7|+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 3ln |x2-6x+7|+k, k real
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) ln |x+7|+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
GABARITO
1. Determine a integral:
∫34x-53dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
Usando o método de substituição de variável:
u=4x-5→du=4dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∫34x-53dx=3∫1u314du=34∫u-13du=34(u-13+1-13+1)+k=34.32u23+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retornando para variável inicial:
/
∫34x-53dx=98(4x-5)23+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a integral ∫01x2 e-x3dx:
A alternativa "D " está correta.
Usando o método de substituição de variável:
u=-x3→du=-3x2dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
x2 e-x3dx=eu(-13)du
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x=0→u=0 e x=1→u=-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo:
∫01x2 e-x3dx=∫0-1(-13)eudu=(-13)∫0-1eudu
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esta é uma integral imediata. Portanto:
∫01x2 e-x3dx=(-13)[eu]0-1=(-13)(e-1-e0)
=(-13)(1e-1) =13-13e
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
/
3. Determine a integral:
∫sen2x cos3x dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
Usando o método de substituição de variável:
u=senx→du=cosx dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Devemos lembrar também que:
sen2x+cos2x=1→cos2x=1-sen2x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
 sen2x cos3x dx=sen2x cos2x cos x dx=sen2x (1-sen2x) cos x dx= u2(1-u2)du
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∫sen2x cos3x dx=∫u2(1-u2)du=∫(u2-u4)du=13u3-15u5+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retornando à variável inicial:
∫sen2x cos3x dx=13u3-15u5+k=sen3x3-sen5x5+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Determine o valor de:
/
∫(x3+1)cos(x4+4x)dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL
5. Determine o valor da integral:
∫013u1+u4du
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
Usando o método de substituição de variável:
t=u2→dt=2u du
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
3u1+u4du=312dt1+t2=3211+t2dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esta é uma primitiva conhecida.
Se u = 0 → t = 0 e u = 1 → t = 1
∫013u1+u4du=32∫0111+t2dt=[32arctgt]01=32π4=3π8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Determine a integral:
∫6x-18x2-6x+7dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL
/
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE:
∫3X-53DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A)
A) (x-5)43+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
/
B)
B) (3x-5)13+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 14(3x-5)43+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) 14(x+5)43+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
2. DETERMINE:
∫012U3 1+U2DU
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) (2+1)15
B) 4(2+1)15
/
C) 4(2-1)15
D) (2-1)1'5
GABARITO
1. Determine:
∫3x-53dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
 
Fazendo u=3x–5 , tem-se du=3dx.
∫3x-53dx=∫u313du=13∫u3 du=13(34u43)=14u43+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∫3x-53dx=14(3x-5)43+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine:
∫012u3 1+u2du
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
/
 
Fazendo t=1+u2 , temos dt=2u du.
Portanto:
2u3 1+u2 du=2 u21+u2 u du= t-1t dtu
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para u = 0 → t = 1 + 0 = 1 e u = 1 → t = 1 + 1 = 2
∫012u3 1+u2du=∫12(t-1)tdt=∫12ttdt-∫12tdt
=[25t52]12-[23t32]12=2522 2-2512 1-2322+23.11
=85 2-25-432+23=242-6-202+1015=42+415=4(2+1)15
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
 Aplicar a técnica de integração por partes na resolução de problemas envolvendo integrais
INTRODUÇÃO
Outra técnica de integração com bastante aplicação é a integração por partes.
/
Este método de primitivação tem uma correspondência com a regra do produto na diferenciação, o que por ela é definido.
Neste módulo, analisaremos a aplicação da integração por partes.
INTEGRAÇÃO POR PARTES
A técnica de integração por partes tem uma correspondência com a regra do produto na diferenciação.Vamos, portanto, definir a regra que pode ser aplicada na resolução de diversas integrais que não são imediatas.
Suponha as funções f(x) e g(x) deriváveis em um intervalo I, então:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando os dois lados da equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como:
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Tem-se a regra de integração por partes:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando uma nova simbologia de u = f(x) e v = g(x), consequentemente:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Obtém-se uma forma mais usual da regra de integração por partes:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
/
Foque na regra de integração por partes! Ela mostra que podemos calcular a integral , mais
complexa, pelo cálculo de outra integral, , teoricamente mais simples.
A constante de integração real da integral indefinida pode ser colocada no fim do processo.
EXEMPLO 1
Determine a integral:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A integral não é uma integral imediata. Assim, ela necessita de uma técnica de integração para transformar o
integrando:
O integrando deve ser transformado totalmente no produto . Todos os termos do integrando devem fazer parte da
função ou da função . Esses termos só podem aparecer uma vez. Neste exemplo, os termos são: , e .
Escolhe-se como , assim .
/
O que resta do integrando deve fazer parte do . Dessa forma, , então:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja que é a função cuja diferencial vale .
Usando a integração por partes:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A integral é imediata e se sabe a solução:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No caso da integral definida, a regra é semelhante. Aplicando o cálculo da integral definida estudada anteriormente:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2
Determine a integral:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando o mesmo raciocínio do exemplo anterior, será escolhido:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que os limites de integração já poderiam ter sido aplicados diretamente na solução da integral indefinida:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Deve ser feita a escolha correta das funções u e dv. A escolha errada, ao invés de simplificar o problema, irá
complicá-lo.
Volte no Exemplo 1. Se ao invés de ter escolhido e , fossem escolhidos e .
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja como a escolha errada tornou o método sem efetividade, transformando a integral em uma integral mais complicada.
A ESCOLHA DE TERMOS É APRENDIDA COM A PRÁTICA DOS
EXERCÍCIOS. MAS, EXISTE UMA REGRA PRÁTICA QUE É
GUARDADA PELA PALAVRA LIATE, QUE MOSTRA A PRIORIDADE
DO SEGMENTO DO INTEGRANDO QUE DEVE FAZER PARTE DO U.
A SETA APONTA DA MAIOR PARA A MENOR PRIORIDADE DE
ESCOLHA PARA PARTE DO U.
/
 
(Fonte: o Autor)
Assim, no Exemplo 1, havia no integrando uma parte algébrica (x) e uma parte trigonométrica (sen x), portanto, pela regra prática, a
algébrica tem prioridade sobre a trigonométrica, por isso foi escolhido u = x, e não u = sen x.
Às vezes, para resolução da integral, é necessária a aplicação da integração por partes mais de uma vez ou até mesmo a
integração por partes combinada com outro método de integração, como, por exemplo, a substituição de variável.
EXEMPLO 3
Determine a integral:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
/
Usando a regra do LIATE para separar os termos do integrando, a função trigonométrica é prioridade em relação à função
exponencial, assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a integração por partes:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aparentemente, fez-se a escolha errada, mas não. Precisamos aplicar novamente a integração por partes, mas agora no termo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a regra LIATE na nova integral:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
/
Substituindo na equação inicial:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que a integral desejada aparece novamente no lado direito com sinal negativo, podendo ser jogada para o lado esquerdo.
Façamos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
Uma barra de 
π
 de comprimento tem uma densidade linear de massa dada pela equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
/
Medida em kg/m, onde é a distância entre o ponto da barra e a extremidade inferior da barra. Verifica-se, portanto, que a massa
da barra não é dividida uniformemente. Determine a massa da barra de 
π
, lembrando que a massa é obtida pela integral da
densidade de massa.
RESOLUÇÃO
INTEGRAÇÃO POR PARTES
MÃO NA MASSA
/
1. DETERMINE A INTEGRAL:
∫02X EXDX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) e2+1
B) e2-1
C) e2
D) 1
2. DETERMINE A INTEGRAL:
∫4XCOS (2X)DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A)
A) 2x cos(2x)-sen(2x)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
/
B) 2x sen(2x)+cos (2x)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 2x sen(2x)-cos (2x)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) 2x cos(2x)+sen (2x)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
3. DETERMINE O VALOR DE G(E), SABENDO QUE:
G(X)=∫LN XDX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
E QUE G(1)=0.
A) e-1
B) e
/
C) 1
D) e+1
4. DETERMINE O VALOR H(Π), SABENDO QUE:
H(X)=∫EXSEN XDX E H(0)=-12
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 12eπ
B) 12
C) eπ
D) 1
5. SABE-SE QUE M(0)=-14 E QUE M(X) É UMA DAS FUNÇÕES OBTIDAS PELA INTEGRAL ∫Z2E2ZDZ.
DETERMINE O VALOR DE M(12).
A) 18e
B) -58e
C) -18e
D) 58e
/
6. DETERMINE O VALOR DE:
∫012 ARCTG X DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) ln2
B) π2
C) π2+ln2
D) π2-ln2
GABARITO
1. Determine a integral:
∫02x exdx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
Usando a integração por partes para resolver a integral:
∫02x exdx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
u=x→du=dx e dv=exdx→v=ex
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembre-se de que a função algébrica tem prioridade para ser escolhida como u emrelação à exponencial.
Assim:
∫02x exdx=[x ex]02-∫02exdx=[x ex]02-[ ex]02
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pois a integral ∫exdx é uma integral imediata. Portanto:
∫02x exdx=[2.e2-0.e0]-[e2-e0]=2e2-e2+1=e2+1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a integral:
∫4xcos (2x)dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
Usando a integração por partes para resolver a integral:
∫4xcos (2x)dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
u=x→du=dx e dv=(2x) dx→v=2 sen(2x)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembre-se de que a função algébrica tem prioridade para ser escolhida como u em relação à trigonométrica.
Assim:
/
∫4xcos (2x)dx=2 x sen(2x)-∫2sen(2x)dx=2x sen(2x)+cos (2x)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A integral ∫2 sen(2x)dx é imediata e vale (-cos 2x).
3. Determine o valor de g(e), sabendo que:
g(x)=∫ln x dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E que g(1)=0.
A alternativa "C " está correta.
Aplicando a integração por partes e usando a regra prática do LIATE:
u=ln x→du=1xdx e dv=dx→v=x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
g(x)=∫ln x dx=xln x- ∫x1xdx=xln x- ∫dx=xln x-x+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas, g(1) = 1.ln1 – 1 + k = k – 1 = 0 (pelo enunciado), logo k = 1:
g(x)=xlnx-x+1 →g(e)=e lne-e+1=1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Determine o valor h(π), sabendo que:
h(x)=∫exsen xdx e h(0)=-12
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
INTEGRAÇÃO POR PARTES
5. Sabe-se que m(0)=-14 e que m(x) é uma das funções obtidas pela integral ∫z2e2zdz. Determine o valor de m(12).
A alternativa "B " está correta.
INTEGRAÇÃO POR PARTES
/
6. Determine o valor de:
∫012 arctg x dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
Aplicando a integração por partes e usando a regra prática do LIATE,
u=arctg x→du=11+x2dx e dv=2 dx→v=2x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∫012 arctg(x)=[2x arctg(x)]01-∫012x11+x2dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que a integral da direita não é também imediata. Nesse caso, a forma mais simples de se resolver é pela técnica de
substituição, já estudada.
∫012x1+x2dx
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo:
z=1+x2→dz=2xdx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para x = 1 → z = 1 + 1 = 2 e para x = 0 → z = 1 = 0 = 1. Portanto:
∫012x1+x2dx=∫121zdz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma integral imediata:
∫121zdz=[lnz]12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na equação inicial:
∫012 arctg(x)=[2x arctg(x)]01-∫012x11+x2dx=[2x arctg(x)]01-[lnz]12
=[2.1.arctg1-2.0.arctg0]-[ln2-ln1]=2.π4-0-ln2=π2-ln2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VERIFICANDO O APRENDIZADO
/
1. DETERMINE A INTEGRAL:
∫3XCOS (3X)DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A)
A) xcos (3x)-13cos (3x)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) x sen(3x)-13cos (3x)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) x sen(3x)+13cos (3x)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) x sen(3x)+13sen(3x)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
/
D)
2. UMA DETERMINADA ÁREA É CALCULADA PELA INTEGRAL:
∫-20(-2)X E-XDX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VALOR DA ÁREA.
A) 2e2+2
B) 3e2-1
C) 5-e2
D) 1+3e2
GABARITO
1. Determine a integral:
∫3xcos (3x)dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
 
u=x→du=dx e dv=3cos(3x)dx→v=sen(3x)
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
∫3xcos (3x)dx=x sen(3x)-∫sen(3x)dx=x sen(3x)+13cos (3x)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Uma determinada área é calculada pela integral:
∫-20(-2)x e-xdx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Marque a alternativa que apresenta o valor da área.
A alternativa "A " está correta.
 
Usando a integração por partes para resolver a integral:
∫-20x e-xdx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
u=x→du=dx e dv=(-2)e-xdx→v=2e-x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembre-se de que a função algébrica tem prioridade para ser escolhida como u em relação à exponencial. Assim:
∫-20x e-xdx=[x 2e-x]-20-∫-202 e-xdx=[2x e-x]-20+[2 e-x]-20
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
/
∫-20(-2)x e-xdx=[2.0.e-0-2-2.e--2]+[2e-0-2e--2]=4e2+2-2e2
4e2+2-2e2=2 e2+2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 4
 Empregar a técnica de integração por frações parciais na resolução de problemas envolvendo integrais
INTRODUÇÃO
Outra técnica de integração com aplicação no cálculo de integrais cujo integrando é uma fração racional é a integração por frações
parciais.
Neste módulo, analisaremos a aplicação da integração por frações parciais. Esse método de primitivação transforma o integrando
em uma soma de frações mais simples, denominadas frações parciais, cuja primitiva conhecemos.
REVISÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS
/
Função racional é uma função que representa o quociente entre dois polinômios, assim , onde P(x) e Q(x) são
polinômios.
Polinômio é uma função do tipo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com número natural diferente de zero, sendo que , denominado de coeficientes, são números reais. O número é o grau do
polinômio, com .
 ATENÇÃO
Se o grau do polinômio P(x) > grau do polinômio Q(x), então a função f(x) será imprópria. Se o grau do
polinômio P(x) ≤ grau do polinômio Q(x), então a função f(x) será própria.
Veja os exemplos abaixo:
É uma função racional própria, pois o grau do numerador vale 1 e o grau do denominador vale 2, assim o grau do numerador é
menor do que o grau do denominador.
/
É uma função racional própria, pois o grau do numerador vale 0 e o grau do denominador vale 3, assim o grau do numerador é
menor do que o grau do denominador.
É uma função racional imprópria, pois o grau do numerador vale 2 e o grau do denominador vale 1, assim o grau do numerador é
maior do que o grau do denominador.
O método de frações parciais serve para um integrando com uma função racional própria. Se a função for imprópria, passa a ser
necessário um passo intermediário, executando uma divisão entre os polinômios para transformar a função racional própria em um
polinômio mais uma função racional própria.
Assim, seja T(x) uma função racional imprópria, com:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dividindo P(x) por Q(x), podemos transformar:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde S(x) é um polinômio de grau m,correspondente à parte inteira da divisão, e é uma função racional própria, ou seja, grau
R(x)das constantes obtidas, utilizaremos as integrais
imediatas envolvendo ln(u) ou arctg(u).
 ATENÇÃO
Lembre-se de que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As raízes reais com ou sem multiplicidade que podem aparecer seguem o raciocínio dos itens anteriores. Os demais passos são
idênticos aos casos anteriores.
/
Q(X) APRESENTA RAÍZES COMPLEXAS COM MULTIPLICIDADE
Neste caso, o polinômio Q(x) de grau n terá pares de raízes complexas repetidas, isto é, com multiplicidade r. Assim, Q(x), após a
fatoração, apresentará, para cada par de raízes complexas com multiplicidade r, um termo quadrático irredutível elevado à sua
multiplicidade. Ou seja, , com a, b e c reais e r natural maior do que 1.
Cada par de raízes complexas com multiplicidade r estará associada a uma soma de parcelas do tipo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde r é a multiplicidade do par de raízes.
A solução da integral envolvendo esses termos usa integrais imediatas relacionadas a ln(u), arctg(u) e funções racionais.
As demais raízes reais e complexas sem multiplicidade que aparecerem seguem os termos vistos nos casos anteriores. Os demais
passos são idênticos aos apresentados.
TEORIA NA PRÁTICA
Sabemos da física que a derivada da posição com o tempo é a velocidade. Dessa forma, a variação de posição pode ser obtida por
meio da integral da função velocidade entre dois intervalos de tempo.
/
EXEMPLO:
Determine a variação da posição entre os instantes t = 0s e t = 10s, sabendo que a velocidade do objeto é dada pela função:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS
MÃO NA MASSA
/
1. DETERMINE A INTEGRAL:
∫25X-8(X-1)(X+6)DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) ln (121256)
B) 2 ln (256121)
C) 2 ln (121256)
D) ln (256121)
2. DETERMINE O VALOR DE F(8), SABENDO QUE F(X) FAZ PARTE DA FAMÍLIA DE FUNÇÕES
GERADAS PELA INTEGRAL:
∫2X(X+2)(X-3)DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
E QUE F(4) = LN 6.
A) ln 20
B) ln 30
C) ln 40
/
D) ln 50
3. DETERMINE A INTEGRAL INDEFINIDA:
∫X2+X+25(X+1)(X-4)2DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A)
A) ln|x+4|-9(x-4)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) ln|x+1|+ln|x-4|+1(x-4)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) ln|x+1|-9(x-4)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
/
D) 2ln|x+1|+1(x-4)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
4. DETERMINE O VALOR DE:
∫02X3+4X+3X2+4DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) π8-12
B) 3π5+32
C) 3π8+12
D) π8+32
5. DETERMINE O VALOR DA INTEGRAL:
∫1210X2+40X+12X(X+1)2DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A)
/
A) arctg (4)+2ln 3-6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) 2ln 3+4ln 2-5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 14ln 2-2ln 3+3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) 10ln 2+ln 3+6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
6. DETERMINE O VALOR DE:
∫245(X – 1) (X2+4)DX
/
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A)
A) ln(31030)+12arctg4+π8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) ln(3820)-12arctg2+π8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) ln(3820)-12arctg20+π6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) ln(3820)+18arctg2+π32
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
/
GABARITO
1. Determine a integral:
∫25x-8(x-1)(x+6)dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
Usando a integração por frações parciais para resolver a integral:
∫25x-8x2+5x-6dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos que o integrando é uma função racional própria, com denominador que tem raízes 1 e –6.
Q(x)=x2+5x-6=(x–1)(x+6) e x-8x2+5x-6=Ax-1+Bx+6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Transformamos o lado direito no mesmo denominador:
Ax-1+Bx+6=A(x+6)+B(x-1)(x+6)(x-1)=(A+B)x+(6A-B)x2+5x-6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
x-8x2+5x-6=(A+B)x+(6A-B)x2+5x-6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, deve-se comparar o numerador da esquerda P(x) = x – 8 com o numerador da direita. Para que dois polinômios sejam
iguais, eles devem ser iguais termo a termo, assim:
/
x-8=(A+B)x+(6A-B)→{A+B=1 6A-B=-8→7A=-7→A=-1→B=2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma:
∫25x-8x2+5x-6dx=∫25-1x-1dx+∫252x+6dx=-[lnx-1]25+[2 lnx+6]25
=2ln11-2ln8-ln4+ln1=ln112-ln82-ln4=ln(12164.4)=ln (121256)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine o valor de f(8), sabendo que f(x) faz parte da família de funções geradas pela integral:
∫2x(x+2)(x-3)dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E que f(4) = ln 6.
A alternativa "D " está correta.
Usando a integração por frações parciais para resolver a integral:
∫2x-1(x+2)(x-3)dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos que o integrando é uma função racional própria, com denominador que tem raízes 3 e –2.
2x(x+2)(x-3)=Ax+2+Bx-3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Transformamos o lado direito no mesmo denominador:
Ax+2+Bx-3=A(x-3)+B(x+2)(x+2)(x-3)=(A+B)x+(2B-3A)(x+2)(x-3)
/
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
2x-1(x+2)(x-3)=(A+B)x+(2B-3A)(x+2)(x-3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, deve-se comparar o numerador da esquerda P(x) = 2x com o numerador da direita. Para que dois polinômios sejam iguais,
eles devem ser iguais termo a termo, assim:
2x-1=(A+B)x+(2B-3A)→{A+B=2 2B-3A=-1→5A=5→A=1→B=1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma:
f(x)=∫2x-1(x+2)(x-3)dx=∫1x+2dx+∫1x-3dx=ln|x+2|+ ln|x-3|+k, k real
f(4)=ln6+ln1+k=ln6→k=0
f(8)=ln10+ln5=ln 50
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Determine a integral indefinida:
∫x2+x+25(x+1)(x-4)2dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
/
INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS
4. Determine o valor de:
∫02x3+4x+3x2+4dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
O integrando é uma função racional imprópria, pois o grau do numerador é maior do que o grau do denominador. Para transformá-lo
em fração própria, deve-se dividir o numerado pelo denominador ou observar que:
P(x)=x3+4x+3=x(x2+4)+3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
P(X)q(X)=x(x2+4)+3x2+4=x(x2+4)x2+4+1x2+4=x+3x2+4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
/
Então:
∫02x3+4x+3x2+4dx=∫023x2+4dx+∫02xdx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que as duas parcelas da direita já são integrais imediatas.