DETERMINE O VALOR DE: ∫245(X – 1) (X2+4)DX A) ln(31030)+12arctg4+π8 B) ln(3820)-12arctg2+π8 C) ln(3820)-12arctg20+π6 D) ln(3820)+18arctg2+π32

Para resolver a integral \(\int_{2}^{4} (x - 1) \frac{1}{x^2 + 4} \, dx\), vamos primeiro simplificar a expressão. 1. Separar a integral: Podemos reescrever a integral como: \[ \int_{2}^{4} (x - 1) \frac{1}{x^2 + 4} \, dx = \int_{2}^{4} \frac{x}{x^2 + 4} \, dx - \int_{2}^{4} \frac{1}{x^2 + 4} \, dx \] 2. Resolver a primeira parte: Para a integral \(\int \frac{x}{x^2 + 4} \, dx\), podemos usar a substituição \(u = x^2 + 4\), então \(du = 2x \, dx\) ou \(dx = \frac{du}{2x}\). Isso nos leva a: \[ \int \frac{x}{x^2 + 4} \, dx = \frac{1}{2} \ln|x^2 + 4| + C \] 3. Resolver a segunda parte: Para a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx\), sabemos que: \[ \int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctg\left(\frac{x}{a}\right) + C \] Aqui, \(a = 2\), então: \[ \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx = \frac{1}{2} \arctg\left(\frac{x}{2}\right) + C \] 4. Calcular os limites: Agora, precisamos calcular a integral definida de \(2\) a \(4\): \[ \int_{2}^{4} (x - 1) \frac{1}{x^2 + 4} \, dx = \left[ \frac{1}{2} \ln|x^2 + 4| - \frac{1}{2} \arctg\left(\frac{x}{2}\right) \right]_{2}^{4} \] 5. Substituir os limites: - Para \(x = 4\): \[ \frac{1}{2} \ln(20) - \frac{1}{2} \arctg(2) \] - Para \(x = 2\): \[ \frac{1}{2} \ln(8) - \frac{1}{2} \arctg(1) = \frac{1}{2} \ln(8) - \frac{\pi}{8} \] 6. Subtrair os resultados: \[ \left( \frac{1}{2} \ln(20) - \frac{1}{2} \arctg(2) \right) - \left( \frac{1}{2} \ln(8) - \frac{\pi}{8} \right) \] Simplificando isso, obtemos: \[ \frac{1}{2} \ln\left(\frac{20}{8}\right) - \frac{1}{2} \arctg(2) + \frac{\pi}{8} = \frac{1}{2} \ln(2.5) - \frac{1}{2} \arctg(2) + \frac{\pi}{8} \] Após calcular e simplificar, a resposta correta é a alternativa B: \(\ln(3820) - \frac{1}{2} \arctg(2) + \frac{\pi}{8}\).