Calcule lim x→0 tg[(3 + x)²]− tg 9 / x.

Para calcular o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan[(3 + x)^2] - \tan(9)}{x}\), podemos usar a regra de L'Hôpital, já que a forma é indeterminada \( \frac{0}{0} \) quando \( x \) se aproxima de 0. 1. Derivadas: Precisamos derivar o numerador e o denominador. - O denominador \( x \) tem a derivada \( 1 \). - Para o numerador, usamos a regra da cadeia: \[ \frac{d}{dx}[\tan((3 + x)^2)] = \sec^2((3 + x)^2) \cdot 2(3 + x) \cdot 1 \] 2. Aplicando a regra de L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan[(3 + x)^2] - \tan(9)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sec^2((3 + x)^2) \cdot 2(3 + x)}{1} \] 3. Substituindo \( x = 0 \): - Quando \( x = 0 \), temos \( (3 + 0)^2 = 9 \). - Portanto, \(\sec^2(9) = \frac{1}{\cos^2(9)}\). 4. Resultado: \[ \lim_{x \to 0} \sec^2((3 + x)^2) \cdot 2(3 + x) = \sec^2(9) \cdot 2 \cdot 3 = 6 \sec^2(9) \] Assim, o limite é \( 6 \sec^2(9) \).