Calcule f ′(x) para as funções f abaixo: 6) f (x) = 6 / (√x tg² x)

Para calcular a derivada da função \( f(x) = \frac{6}{\sqrt{x} \tan^2(x)} \), vamos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos uma função na forma \( \frac{u}{v} \), onde \( u \) e \( v \) são funções de \( x \), a derivada é dada por: \[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Neste caso, temos: - \( u = 6 \) e \( u' = 0 \) (a derivada de uma constante é zero) - \( v = \sqrt{x} \tan^2(x) \) Agora, precisamos calcular \( v' \). Para isso, vamos usar a regra do produto: \[ v = \sqrt{x} \cdot \tan^2(x) \] A derivada de \( v \) é: \[ v' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \tan^2(x) + \sqrt{x} \cdot 2\tan(x) \sec^2(x) \] Agora, substituímos \( u \), \( u' \), \( v \) e \( v' \) na fórmula da regra do quociente: \[ f'(x) = \frac{0 \cdot v - 6 \cdot v'}{v^2} = -\frac{6v'}{v^2} \] Substituindo \( v \) e \( v' \): \[ f'(x) = -\frac{6\left(\frac{1}{2\sqrt{x}} \tan^2(x) + \sqrt{x} \cdot 2\tan(x) \sec^2(x)\right)}{(\sqrt{x} \tan^2(x))^2} \] Essa é a expressão para a derivada \( f'(x) \). Você pode simplificá-la mais, se necessário.