Calcule f ′(x) para as funções f abaixo: 8) f (x) = sec(√(x² + 1))

Para calcular a derivada da função \( f(x) = \sec(\sqrt{x^2 + 1}) \), vamos usar a regra da cadeia. 1. Identifique as funções: - \( u = \sqrt{x^2 + 1} \) - \( f(x) = \sec(u) \) 2. Calcule a derivada de \( f \) em relação a \( u \): - A derivada de \( \sec(u) \) é \( \sec(u) \tan(u) \). 3. Calcule a derivada de \( u \) em relação a \( x \): - \( u = (x^2 + 1)^{1/2} \) - Usando a regra da cadeia, temos: \[ \frac{du}{dx} = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \] 4. Aplique a regra da cadeia: - Agora, usando a regra da cadeia: \[ f'(x) = \frac{d}{du}(\sec(u)) \cdot \frac{du}{dx} = \sec(u) \tan(u) \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \] 5. Substitua \( u \) de volta: - Lembre-se que \( u = \sqrt{x^2 + 1} \): \[ f'(x) = \sec(\sqrt{x^2 + 1}) \tan(\sqrt{x^2 + 1}) \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \] Portanto, a derivada \( f'(x) \) é: \[ f'(x) = \sec(\sqrt{x^2 + 1}) \tan(\sqrt{x^2 + 1}) \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \]