Calcule f ′(x) para as funções f abaixo: 13) f (x) = 2x(x + √x) / 3

Para calcular a derivada da função \( f(x) = \frac{2x(x + \sqrt{x})}{3} \), vamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia. 1. Simplifique a função: \[ f(x) = \frac{2}{3} x(x + \sqrt{x}) = \frac{2}{3} (x^2 + x\sqrt{x}) \] 2. Calcule a derivada: Agora, vamos derivar \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{2}{3} \left( \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(x\sqrt{x}) \right) \] - A derivada de \( x^2 \) é \( 2x \). - Para \( x\sqrt{x} \), podemos reescrever como \( x^{3/2} \). A derivada é: \[ \frac{d}{dx}(x^{3/2}) = \frac{3}{2} x^{1/2} \] 3. Junte tudo: \[ f'(x) = \frac{2}{3} \left( 2x + \frac{3}{2} x^{1/2} \right) \] 4. Simplifique: \[ f'(x) = \frac{2}{3} \cdot 2x + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} = \frac{4}{3} x + x^{1/2} \] Portanto, a derivada \( f'(x) \) é: \[ f'(x) = \frac{4}{3} x + x^{1/2} \]