Para encontrar a série de Taylor para \( \sin(x) \) em torno de \( x = 0 \), precisamos lembrar que a série de Taylor é dada pela soma dos termos da forma: \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n \] Para a função \( \sin(x) \), as derivadas em \( x = 0 \) alternam entre 0 e \( \pm 1 \). A série de Taylor para \( \sin(x) \) é: \[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots \] Isso pode ser reescrito como: \[ \sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n + 1)!} \] Agora, analisando as alternativas: A) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n + 1)!} \) - Esta é a forma correta da série de Taylor para \( \sin(x) \). B) \( \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} \) - Esta é a série para \( e^x \) e não se aplica a \( \sin(x) \). C) \( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} \) - Esta é uma representação truncada da série de Taylor, mas não é a forma geral. D) Ambas A e C - Como a alternativa A é a forma correta e a C é uma representação truncada, essa opção é verdadeira. Portanto, a resposta correta é: D) Ambas A e C.