Calcule o volume sob a curva de z = 2(x^2 + y^2) no quadrado [0, 1] × [0, 1]. A) 1/3 B) 2/3 C) 5/3 D) 4

Para calcular o volume sob a curva \( z = 2(x^2 + y^2) \) no quadrado \([0, 1] \times [0, 1]\), precisamos calcular a integral dupla da função sobre essa região. A integral que precisamos calcular é: \[ V = \int_0^1 \int_0^1 2(x^2 + y^2) \, dy \, dx \] Vamos calcular isso passo a passo: 1. Calcular a integral interna em relação a \( y \): \[ \int_0^1 2(x^2 + y^2) \, dy = \int_0^1 2x^2 \, dy + \int_0^1 2y^2 \, dy \] A primeira parte é: \[ \int_0^1 2x^2 \, dy = 2x^2 \cdot y \bigg|_0^1 = 2x^2 \] A segunda parte é: \[ \int_0^1 2y^2 \, dy = \frac{2y^3}{3} \bigg|_0^1 = \frac{2}{3} \] Portanto, a integral interna resulta em: \[ 2x^2 + \frac{2}{3} \] 2. Agora, calcular a integral externa em relação a \( x \): \[ V = \int_0^1 \left( 2x^2 + \frac{2}{3} \right) \, dx \] Isso se divide em duas partes: \[ \int_0^1 2x^2 \, dx + \int_0^1 \frac{2}{3} \, dx \] A primeira parte é: \[ \int_0^1 2x^2 \, dx = \frac{2x^3}{3} \bigg|_0^1 = \frac{2}{3} \] A segunda parte é: \[ \int_0^1 \frac{2}{3} \, dx = \frac{2}{3} \cdot x \bigg|_0^1 = \frac{2}{3} \] 3. Somando os resultados: \[ V = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \] Portanto, o volume sob a curva é \( \frac{4}{3} \). Analisando as alternativas, a resposta correta é: C) 5/3.