Problema 89: Determine o valor de \( \int_0^1 (1 - x^2)^{13} \, dx \).

Para resolver a integral \( \int_0^1 (1 - x^2)^{13} \, dx \), podemos usar a substituição \( u = 1 - x^2 \). Assim, temos: 1. Derivando, obtemos \( du = -2x \, dx \) ou \( dx = -\frac{du}{2\sqrt{1-u}} \). 2. Quando \( x = 0 \), \( u = 1 \) e quando \( x = 1 \), \( u = 0 \). A integral se transforma em: \[ \int_1^0 u^{13} \left(-\frac{du}{2\sqrt{1-u}}\right) = \frac{1}{2} \int_0^1 u^{13} (1-u)^{-1/2} \, du \] Essa integral pode ser resolvida usando a função beta: \[ \int_0^1 u^{a-1} (1-u)^{b-1} \, du = B(a, b) = \frac{\Gamma(a) \Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} \] Neste caso, \( a = 14 \) e \( b = \frac{1}{2} \): \[ \int_0^1 u^{13} (1-u)^{-1/2} \, du = B(14, \frac{1}{2}) = \frac{\Gamma(14) \Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(14 + \frac{1}{2})} \] Sabemos que \( \Gamma(14) = 13! \) e \( \Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi} \). Agora, precisamos calcular \( \Gamma(14.5) \), que pode ser feito usando a relação \( \Gamma(n + 1) = n \Gamma(n) \): \[ \Gamma(14.5) = \frac{27}{2} \Gamma(13.5) \] E assim por diante, até que você obtenha o valor desejado. Finalmente, a integral original se torna: \[ \int_0^1 (1 - x^2)^{13} \, dx = \frac{1}{2} B(14, \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{13! \sqrt{\pi}}{\Gamma(14.5)} \] O valor exato pode ser calculado, mas o resultado final é: \[ \int_0^1 (1 - x^2)^{13} \, dx = \frac{13! \sqrt{\pi}}{2 \cdot \Gamma(14.5)} \] Se precisar de um valor numérico, você pode calcular isso usando uma calculadora ou software que suporte funções gama.