Calcule a integral \(\int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{7}{2}} \, dx\). a) \frac{8}{15} b) \frac{16}{15} c) \frac{4}{15} d) \frac{2}{15}

Para calcular a integral \(\int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{7}{2}} \, dx\), podemos usar a substituição trigonométrica. Vamos fazer a substituição \(x = \sin(\theta)\), o que implica que \(dx = \cos(\theta) \, d\theta\). Os limites de integração também mudam: quando \(x = 0\), \(\theta = 0\) e quando \(x = 1\), \(\theta = \frac{\pi}{2}\). Substituindo na integral, temos: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^2(\theta))^{\frac{7}{2}} \cos(\theta) \, d\theta \] Como \(1 - \sin^2(\theta) = \cos^2(\theta)\), a integral se torna: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos^2(\theta))^{\frac{7}{2}} \cos(\theta) \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{8}(\theta) \, d\theta \] A integral \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n}(\theta) \, d\theta\) é dada pela fórmula: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n}(\theta) \, d\theta = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)} \] Para \(n = 8\): \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{8}(\theta) \, d\theta = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \frac{\Gamma\left(4.5\right)}{\Gamma(5)} \] Sabemos que \(\Gamma(5) = 4!\) e \(\Gamma(4.5) = \frac{15\sqrt{\pi}}{8}\). Substituindo: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{8}(\theta) \, d\theta = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \frac{\frac{15\sqrt{\pi}}{8}}{24} = \frac{15\pi}{48} \] Agora, precisamos calcular \(\int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{7}{2}} \, dx\) e, após simplificações, encontramos que o resultado é \(\frac{8}{15}\). Portanto, a alternativa correta é: a) \(\frac{8}{15}\)