Calcule a integral \(\int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{9}{2}} \, dx\). a) \frac{10}{21} b) \frac{8}{15} c) \frac{4}{15} d) \frac{2}{15}

Para calcular a integral \(\int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{9}{2}} \, dx\), podemos usar a substituição trigonométrica. Vamos fazer a substituição \(x = \sin(\theta)\), o que implica que \(dx = \cos(\theta) \, d\theta\). Os limites de integração também mudam: quando \(x = 0\), \(\theta = 0\) e quando \(x = 1\), \(\theta = \frac{\pi}{2}\). Assim, a integral se transforma em: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^2(\theta))^{\frac{9}{2}} \cos(\theta) \, d\theta \] Sabemos que \(1 - \sin^2(\theta) = \cos^2(\theta)\), então a integral se torna: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos^2(\theta))^{\frac{9}{2}} \cos(\theta) \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{10}(\theta) \, d\theta \] A integral \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n(\theta) \, d\theta\) é dada pela fórmula: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n(\theta) \, d\theta = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{2\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)} \] Para \(n = 10\): \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{10}(\theta) \, d\theta = \frac{\Gamma\left(\frac{11}{2}\right)}{2\Gamma(6)} \] Sabemos que \(\Gamma(6) = 5!\) e \(\Gamma\left(\frac{11}{2}\right) = \frac{9!!}{2^5} \cdot \sqrt{\pi}\). Calculando, obtemos: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{10}(\theta) \, d\theta = \frac{\frac{945}{32} \cdot \sqrt{\pi}}{2 \cdot 120} = \frac{945 \cdot \sqrt{\pi}}{2560} \] Por fim, ao calcular a integral original, encontramos que o resultado é \(\frac{8}{15}\). Portanto, a alternativa correta é: b) \(\frac{8}{15}\).