Para resolver a equação \( z^2 = i \), precisamos expressar \( i \) na forma polar. O número complexo \( i \) pode ser escrito como \( \sqrt{1^2 + 0^2} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) \). Agora, para encontrar \( z \), que é a raiz quadrada de \( i \), podemos usar a fórmula da raiz quadrada em forma polar. Se \( i = r(\cos \theta + i \sin \theta) \), então: \[ z = \sqrt{r} \left( \cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2} \right) \] Aqui, \( r = 1 \) e \( \theta = \frac{\pi}{2} \). Portanto: \[ z = \sqrt{1} \left( \cos \frac{\pi/2}{2} + i \sin \frac{\pi/2}{2} \right) = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \] Isso nos dá uma solução. A outra solução é obtida adicionando \( \pi \) ao ângulo: \[ z = \sqrt{1} \left( \cos \left( \frac{\pi}{2} + \pi \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{2} + \pi \right) \right) = \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \) - Esta é uma das soluções, mas está multiplicada por \( \sqrt{2} \), o que não é correto. b) \( \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) \) - Esta também é uma solução, mas novamente está multiplicada por \( \sqrt{2} \). c) Ambas as anteriores - Como ambas as alternativas a) e b) estão incorretas por causa do fator \( \sqrt{2} \), esta opção também não é correta. d) Nenhuma das anteriores - Esta é a opção correta, pois nenhuma das alternativas apresentadas é a solução correta para \( z^2 = i \). Portanto, a resposta correta é: d) Nenhuma das anteriores.