O que é z^n para z = 1 + i e n = 6? A) 8 B) -64 C) 64 D) 32

Para calcular \( z^n \) onde \( z = 1 + i \) e \( n = 6 \), podemos usar a forma polar ou a fórmula de De Moivre. Primeiro, vamos encontrar o módulo e o argumento de \( z \). 1. Módulo de \( z \): \[ |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \] 2. Argumento de \( z \): \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4} \] Assim, podemos escrever \( z \) na forma polar: \[ z = \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} \right) \] 3. Aplicando a fórmula de De Moivre: \[ z^6 = \left( \sqrt{2} \right)^6 \left( \cos\left(6 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(6 \cdot \frac{\pi}{4}\right) \right) \] \[ = 8 \left( \cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2} \right) \] 4. Cálculo do cosseno e seno: \[ \cos\frac{3\pi}{2} = 0 \quad \text{e} \quad \sin\frac{3\pi}{2} = -1 \] Portanto: \[ z^6 = 8(0 - i) = -8i \] Como a pergunta pede o valor real, e considerando as opções dadas, parece que houve um erro nas opções, pois o resultado não corresponde a nenhuma delas. No entanto, se considerarmos apenas o módulo, que é 8, a resposta mais próxima seria: A) 8.