Determine o valor de z^2 + z̅^2 para z = 1 + 2i. A) 2 B) 5 C) 10 D) 4

Para determinar o valor de \( z^2 + \overline{z}^2 \) para \( z = 1 + 2i \), vamos seguir os passos: 1. Calcular \( z^2 \): \[ z^2 = (1 + 2i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2i + (2i)^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i \] 2. Calcular \( \overline{z} \) (conjugado de \( z \)): \[ \overline{z} = 1 - 2i \] 3. Calcular \( \overline{z}^2 \): \[ \overline{z}^2 = (1 - 2i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2i + (2i)^2 = 1 - 4i - 4 = -3 - 4i \] 4. Somar \( z^2 \) e \( \overline{z}^2 \): \[ z^2 + \overline{z}^2 = (-3 + 4i) + (-3 - 4i) = -3 - 3 = -6 \] Parece que houve um erro na interpretação da pergunta, pois o resultado não está entre as opções. Vamos revisar: Na verdade, o que se busca é a soma dos quadrados das partes reais e imaginárias: \[ z^2 + \overline{z}^2 = 2 \cdot \text{Re}(z^2) \] Como \( z^2 + \overline{z}^2 = 2 \cdot (-3) = -6 \), mas isso não se encaixa nas opções. Parece que a questão pode estar mal formulada ou as opções não correspondem ao resultado correto. Você pode verificar se a pergunta está correta ou se há mais informações?