Determine o valor de \( \int_{0}^{1} (x^3 + x^2 + x) \, dx \). a) \( 1 \)

Para determinar o valor da integral \( \int_{0}^{1} (x^3 + x^2 + x) \, dx \), vamos calcular a integral de cada termo separadamente. 1. Integral de \( x^3 \): \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \] 2. Integral de \( x^2 \): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \] 3. Integral de \( x \): \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \] Agora, somamos as integrais: \[ \int (x^3 + x^2 + x) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \] Agora, avaliamos de 0 a 1: \[ \left[ \frac{1^4}{4} + \frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} \right] - \left[ \frac{0^4}{4} + \frac{0^3}{3} + \frac{0^2}{2} \right] \] Calculando: \[ = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \] Para somar, precisamos de um denominador comum, que é 12: \[ = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} + \frac{6}{12} = \frac{3 + 4 + 6}{12} = \frac{13}{12} \] Portanto, o valor da integral \( \int_{0}^{1} (x^3 + x^2 + x) \, dx \) é \( \frac{13}{12} \). A resposta correta não é \( 1 \).