Qual é o valor de z = \frac{(1 + i)^3}{(1 - i)^3}? A) -1 B) 1 C) 2

Para resolver a expressão \( z = \frac{(1 + i)^3}{(1 - i)^3} \), vamos calcular cada parte. 1. Calcular \( (1 + i)^3 \): \[ (1 + i)^3 = (1 + i)(1 + i)(1 + i) \] Primeiro, calculamos \( (1 + i)(1 + i) = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \). Agora, multiplicamos por \( (1 + i) \): \[ (2i)(1 + i) = 2i + 2i^2 = 2i - 2 = -2 + 2i \] 2. Calcular \( (1 - i)^3 \): \[ (1 - i)^3 = (1 - i)(1 - i)(1 - i) \] Primeiro, calculamos \( (1 - i)(1 - i) = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i \). Agora, multiplicamos por \( (1 - i) \): \[ (-2i)(1 - i) = -2i + 2i^2 = -2i - 2 = -2 - 2i \] 3. Agora, substituímos na expressão de \( z \): \[ z = \frac{-2 + 2i}{-2 - 2i} \] 4. Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador: \[ z = \frac{(-2 + 2i)(-2 + 2i)}{(-2 - 2i)(-2 + 2i)} = \frac{(4 - 8i + 4i^2)}{(4 + 4)} = \frac{(4 - 8i - 4)}{8} = \frac{-8i}{8} = -i \] 5. Agora, precisamos expressar \( -i \) em forma polar: O módulo de \( -i \) é 1 e o argumento é \( -\frac{\pi}{2} \), que corresponde a \( e^{-i\frac{\pi}{2}} \). 6. Por fim, o valor de \( z \): O valor de \( z \) não é um dos valores fornecidos nas alternativas. No entanto, se considerarmos a magnitude, podemos concluir que \( z \) não é igual a -1, 1 ou 2. Portanto, parece que houve um erro nas opções fornecidas, pois o resultado não corresponde a nenhuma delas. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!