I83NS calculos I83NS

Prévia do material em texto

**Explicação:** Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do 
denominador, \( z = \frac{(1 - i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{1 - 2i + i^2}{1 + 1} = \frac{0 - 2i}{2} = -
i \). 
 
28. Se \( z = 3 + 4i \), qual é \( \overline{z} \)? 
A) \( 3 - 4i \) 
B) \( -3 + 4i \) 
C) \( -3 - 4i \) 
D) \( 3 + 4i \) 
**Resposta: A) \( 3 - 4i \)** 
**Explicação:** O conjugado de um número complexo \( z = a + bi \) é dado por \( 
\overline{z} = a - bi \). Portanto, \( \overline{z} = 3 - 4i \). 
 
29. Qual é o valor de \( z^2 + z + 1 = 0 \)? 
A) \( \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \) 
B) \( \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} \) 
C) \( 1 \) 
D) \( 0 \) 
**Resposta: A) \( \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \)** 
**Explicação:** Usando a fórmula quadrática, temos \( z = \frac{-1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 
4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \). 
 
30. Se \( z = 4 \text{cis} \frac{\pi}{2} \), qual é \( z^2 \)? 
A) \( 16 \text{cis} \pi \) 
B) \( 8 \text{cis} \frac{\pi}{4} \) 
C) \( 8 \text{cis} \frac{\pi}{2} \) 
D) \( 16 \text{cis} \frac{\pi}{4} \) 
**Resposta: A) \( 16 \text{cis} \pi \)** 
**Explicação:** Usando a propriedade de potências, temos \( z^2 = (4 \text{cis} 
\frac{\pi}{2})^2 = 16 \text{cis} \pi \). 
 
31. Se \( z = 1 + i \), qual é \( |z| \)? 
A) \( \sqrt{2} \) 
B) \( 2 \) 
C) \( 1 \) 
D) \( 1 + i \) 
**Resposta: A) \( \sqrt{2} \)** 
**Explicação:** O módulo é dado por \( |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \). 
 
32. Qual é o valor de \( z = (1 + i)(1 - i) \)? 
A) \( 2 \) 
B) \( 0 \) 
C) \( -1 \) 
D) \( 1 \) 
**Resposta: A) \( 2 \)** 
**Explicação:** Multiplicando, temos \( (1 + i)(1 - i) = 1 - i^2 = 1 - (-1) = 2 \). 
 
33. Se \( z = 1 + i \), qual é \( z^3 \)? 
A) \( -2 + 2i \) 
B) \( 2 + 2i \) 
C) \( -2 - 2i \) 
D) \( 0 + 1i \) 
**Resposta: A) \( -2 + 2i \)** 
**Explicação:** Calculando, \( z^3 = (1 + i)^3 = 1 + 3i + 3i^2 + i^3 = 1 + 3i - 3 - i = -2 + 2i \). 
 
34. Qual é o valor de \( z = \frac{(1 + i)^2}{(1 - i)^2} \)? 
A) \( 1 \) 
B) \( -1 \) 
C) \( 2 \) 
D) \( i \) 
**Resposta: A) \( 1 \)** 
**Explicação:** Calculando, temos \( (1 + i)^2 = 2i \) e \( (1 - i)^2 = -2i \). Portanto, \( z = 
\frac{2i}{-2i} = 1 \). 
 
35. Se \( z = 2 + 2i \), qual é \( |z|^2 \)? 
A) 4 
B) 8 
C) 2 
D) 6 
**Resposta: B) 8** 
**Explicação:** O módulo ao quadrado é dado por \( |z|^2 = a^2 + b^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 
= 8 \). 
 
36. Qual é o valor de \( z = \frac{1 + 2i}{1 - 2i} \)? 
A) \( 1 \) 
B) \( 0 \) 
C) \( 1 + 2i \) 
D) \( 1 + i \) 
**Resposta: D) \( 1 + i \)** 
**Explicação:** Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do 
denominador, temos \( z = \frac{(1 + 2i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \frac{1 + 4i - 4}{1 + 4} = 
\frac{-3 + 4i}{5} = \frac{1 + 2i}{1 - 2i} \). 
 
37. Se \( z = 1 + \sqrt{3}i \), qual é a forma polar de \( z \)? 
A) \( 2 \text{cis} \frac{\pi}{3} \) 
B) \( 2 \text{cis} \frac{\pi}{6} \) 
C) \( 2 \text{cis} \frac{2\pi}{3} \) 
D) \( 2 \text{cis} \frac{5\pi}{6} \) 
**Resposta: A) \( 2 \text{cis} \frac{\pi}{3} \)** 
**Explicação:** O módulo é \( |z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2 \) e o argumento é \( \tan^{-
1}(\frac{\sqrt{3}}{1}) = \frac{\pi}{3} \). 
 
38. Qual é o valor de \( z = \frac{(1 + i)^3}{(1 - i)^3} \)? 
A) \( -1 \) 
B) \( 1 \) 
C) \( 2 \)