Determine o valor de \(\int_0^1 \sqrt{x(1 - x)} \, dx\). a) \(\frac{1}{6}\) b) \(\frac{1}{8}\) c) \(\frac{1}{12}\) d) \(\frac{1}{24}\)

Para resolver a integral \(\int_0^1 \sqrt{x(1 - x)} \, dx\), podemos usar a substituição trigonométrica. Uma boa escolha é usar a substituição \(x = \sin^2(\theta)\), o que implica que \(1 - x = \cos^2(\theta)\). Com essa substituição, temos: \[ dx = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \, d\theta = \sin(2\theta) \, d\theta \] Os limites de integração mudam de \(x = 0\) para \(\theta = 0\) e de \(x = 1\) para \(\theta = \frac{\pi}{2}\). Substituindo na integral, obtemos: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin^2(\theta) \cos^2(\theta)} \cdot \sin(2\theta) \, d\theta \] Isso se simplifica para: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(\theta) \cos(\theta) \cdot \sin(2\theta) \, d\theta \] Sabemos que \(\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)\), então a integral se torna: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(\theta) \cos^2(\theta) \cdot 2 \, d\theta \] Isso pode ser resolvido usando a identidade \(\sin^2(\theta) \cos^2(\theta) = \frac{1}{4} \sin^2(2\theta)\): \[ = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{4} \sin^2(2\theta) \, d\theta \] A integral de \(\sin^2(2\theta)\) pode ser resolvida usando a fórmula \(\int \sin^2(x) \, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C\). Após resolver a integral e simplificar, encontramos que: \[ \int_0^1 \sqrt{x(1 - x)} \, dx = \frac{1}{6} \] Portanto, a resposta correta é: a) \(\frac{1}{6}\)