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Problema 60: Calcule o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^4 - 1}{x^2 - 1}\). Agora, escolha a alternativa CORRETA: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

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Para calcular o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^4 - 1}{x^2 - 1}\), vamos primeiro fatorar as expressões. O numerador \(x^4 - 1\) pode ser fatorado como \((x^2 - 1)(x^2 + 1)\), e o denominador \(x^2 - 1\) pode ser fatorado como \((x - 1)(x + 1)\). Assim, temos: \[ \frac{x^4 - 1}{x^2 - 1} = \frac{(x^2 - 1)(x^2 + 1)}{x^2 - 1} \] Podemos cancelar \(x^2 - 1\) (desde que \(x \neq 1\)): \[ = x^2 + 1 \] Agora, podemos calcular o limite substituindo \(x\) por 1: \[ \lim_{x \to 1} (x^2 + 1) = 1^2 + 1 = 2 \] Portanto, a alternativa correta é: c) 2.

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Calcule a integral \(\int_0^1 (1 - x^2)^{2} \, dx\).

a) \(\frac{2}{5}\)
b) \(\frac{1}{3}\)
c) \(\frac{1}{4}\)
d) \(\frac{1}{5}\)

Determine a derivada de \( f(x) = x^2 \ln(x^2) \).

a) \( 2x \ln(x^2) + 2x \)
b) \( 2x \ln(x) + 2x \)
c) \( 4x \ln(x) + 2x \)
d) \( 2x \ln(x^2) - 2x \)

Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \).

A) 0
B) 1
C) 2
D) Não existe

Calcule a integral \int_0^1 (1 + x^4)^{-1/2} \, dx.

a) \frac{1}{2}
b) \frac{\sqrt{2}}{2}
c) \frac{1}{3}
d) \frac{1}{4}

Determine a derivada de f(x) = e^{x^3}.

A) \(3x^2 e^{x^3}\)
B) \(e^{x^3}\)
C) \(x^3 e^{x^2}\)
D) \(x^2 e^{x^3}\)

Calcule o limite: \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1}\).

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3

Determine a integral \(\int_0^1 x^3 (1 - x^2)^{1/2} \, dx\).

a) \(\frac{1}{5}\)
b) \(\frac{1}{6}\)
c) \(\frac{1}{8}\)
d) \(\frac{1}{10}\)

Problema 55: Calcule a integral \(\int_0^1 (1 + x^2)^{-2} \, dx\). Agora, escolha a alternativa CORRETA:

a) \(\frac{1}{4}\)
b) \(\frac{1}{3}\)
c) \(\frac{1}{2}\)
d) \(\frac{1}{5}\)

Problema 56: Determine a derivada de \(f(x) = x^2 \ln(x^2)\). Agora, escolha a alternativa CORRETA:

a) \(2x \ln(x^2) + 2x\)
b) \(2x \ln(x) + 2x\)
c) \(2x \ln(x^2) + x\)
d) \(2x \ln(x^2) + 2\)

Problema 57: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\tan^2(x)}\). Agora, escolha a alternativa CORRETA:

a) 0
b) 1
c) 2
d) Não existe

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