Para resolver a integral \(\int_0^1 x^3 (1 - x^2)^{1/2} \, dx\), podemos usar a substituição \(u = 1 - x^2\). Assim, temos: 1. \(du = -2x \, dx\) ou \(dx = -\frac{du}{2x}\). 2. Quando \(x = 0\), \(u = 1\) e quando \(x = 1\), \(u = 0\). 3. A integral se transforma em: \[ \int_1^0 x^3 (1 - x^2)^{1/2} \, dx = \int_1^0 x^3 u^{1/2} \left(-\frac{du}{2x}\right) = \frac{1}{2} \int_0^1 x^2 u^{1/2} \, du. \] Agora, substituímos \(x^2 = 1 - u\), então \(x^2 = 1 - u\) implica que \(x^3 = (1 - u)^{3/2}\). A integral se torna: \[ \frac{1}{2} \int_0^1 (1 - u)^{3/2} u^{1/2} \, du. \] Essa integral pode ser resolvida usando a fórmula da Beta: \[ B(p, q) = \int_0^1 t^{p-1} (1-t)^{q-1} \, dt. \] Neste caso, temos \(p = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}\) e \(q = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}\). Assim, a integral se torna: \[ \frac{1}{2} B\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right). \] Calculando \(B\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)\): \[ B\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right) = \frac{\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) \Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}{\Gamma(4)}. \] Sabemos que \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}\), \(\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\) e \(\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{3\sqrt{\pi}}{4}\). Portanto: \[ B\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right) = \frac{\frac{3\sqrt{\pi}}{4} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2}}{6} = \frac{3\pi/8}{6} = \frac{\pi}{16}. \] Assim, a integral original se torna: \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{16} = \frac{\pi}{32}. \] Por fim, a resposta correta para a integral \(\int_0^1 x^3 (1 - x^2)^{1/2} \, dx\) é: Nenhuma das alternativas apresentadas parece correta, pois a integral resulta em \(\frac{\pi}{32}\). Você pode verificar se as alternativas estão corretas ou se há um erro na formulação da pergunta.