Para encontrar a forma trigonométrica do número complexo \( z = -2 - 2i \), precisamos calcular o módulo e o argumento. 1. Módulo: O módulo \( r \) é dado por: \[ r = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] 2. Argumento: O argumento \( \theta \) é dado por: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{-2}{-2}\right) = \tan^{-1}(1) \] O ângulo cuja tangente é 1 é \( \frac{\pi}{4} \), mas como estamos no terceiro quadrante (tanto \( x \) quanto \( y \) são negativos), devemos adicionar \( \pi \): \[ \theta = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4} \] Agora, podemos escrever a forma trigonométrica: \[ z = r(\cos \theta + i \sin \theta) = 2\sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right) \] Portanto, a alternativa correta é: A) \( 2\sqrt{2}(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4}) \).