Qual é a solução da equação z^4 - 16 = 0? A) z = 2 B) z = -2 C) z = 2i D) z = -2i

Para resolver a equação \( z^4 - 16 = 0 \), podemos reescrevê-la como \( z^4 = 16 \). Agora, podemos expressar 16 como \( 16 = 2^4 \). Assim, temos: \[ z^4 = 2^4 \] Isso implica que \( z \) pode ser igual a \( 2 \) ou \( -2 \) ou as raízes complexas. Para encontrar todas as soluções, podemos usar a forma polar. As raízes quartas de um número podem ser encontradas usando a fórmula: \[ z_k = r^{1/n} \left( \cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \right) \] onde \( r \) é o módulo e \( \theta \) é o argumento do número complexo. Para \( 16 \), temos \( r = 16 \) e \( \theta = 0 \). As raízes quartas de \( 16 \) são: 1. \( z_0 = 2 \) (quando \( k = 0 \)) 2. \( z_1 = 2i \) (quando \( k = 1 \)) 3. \( z_2 = -2 \) (quando \( k = 2 \)) 4. \( z_3 = -2i \) (quando \( k = 3 \)) Portanto, as soluções da equação \( z^4 - 16 = 0 \) são \( z = 2, -2, 2i, -2i \). Analisando as alternativas: A) z = 2 - Correto B) z = -2 - Correto C) z = 2i - Correto D) z = -2i - Correto Como a pergunta pede a solução da equação, todas as alternativas estão corretas, mas se você precisa de uma única resposta, a primeira solução que encontramos é \( z = 2 \). Portanto, a resposta correta é: A) z = 2.