Determine a equa geral do plano que cont ponto A(3,−1, 2) e a reta r : { x = t y = 2 − t z = 3 + 2t.

Para determinar a equação geral do plano que contém o ponto \( A(3, -1, 2) \) e a reta \( r: \{ x = t, y = 2 - t, z = 3 + 2t \} \), siga os passos abaixo: 1. Identifique um ponto na reta: Quando \( t = 0 \), temos o ponto \( P(0, 2, 3) \) na reta. 2. Determine um vetor diretor da reta: A reta pode ser escrita na forma paramétrica, onde o vetor diretor \( \vec{v} \) é dado pelos coeficientes de \( t \): \[ \vec{v} = (1, -1, 2) \] 3. Determine o vetor que liga o ponto \( A \) ao ponto \( P \): \[ \vec{AP} = P - A = (0 - 3, 2 - (-1), 3 - 2) = (-3, 3, 1) \] 4. Calcule o vetor normal ao plano: O vetor normal \( \vec{n} \) ao plano pode ser obtido pelo produto vetorial entre \( \vec{v} \) e \( \vec{AP} \): \[ \vec{n} = \vec{v} \times \vec{AP} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -3 & 3 & 1 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante, temos: \[ \vec{n} = \hat{i}((-1)(1) - (2)(3)) - \hat{j}((1)(1) - (2)(-3)) + \hat{k}((1)(3) - (-1)(-3)) \] \[ = \hat{i}(-1 - 6) - \hat{j}(1 + 6) + \hat{k}(3 - 3) \] \[ = \hat{i}(-7) - \hat{j}(7) + \hat{k}(0) = (-7, -7, 0) \] 5. Equação do plano: A equação do plano na forma geral é dada por: \[ -7(x - 3) - 7(y + 1) + 0(z - 2) = 0 \] Simplificando, temos: \[ -7x - 7y + 21 + 7 = 0 \implies 7x + 7y = 28 \implies x + y = 4 \] Portanto, a equação geral do plano é: \[ x + y = 4 \]