Geometria Analítica: Planos e Retas

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Lista 8 de Geometria Analca
Planos
Simone Ribeiro
1. Seja o plano π : 2x − y + 3z + 1 = 0. Calcular:
(a) O valor de k para que o ponto P(2, k + 1, k) perten π. Resp: k = −2.
(b) O ponto de abscissa 0 e cuja ordenada obro da cota. Resp: (0,−2,−1).
2. Determine a equa geral do plano nos seguintes casos:
(a) Paralelo ao plano π : 2x − 3y − z + 5 = 0 e que cont ponto A(4,−1, 2). Resp:
2x − 3y − z − 9 = 0.
(b) perpendicular ta r :
{
x = 2y − 3
z = −y + 1 e que cont ponto A(1, 2, 3). Resp: 2x + y −
z − 1 = 0.
(c) Mediador do segmento de extremos A(1,−2, 6) e B(3, 0, 0). Resp: x+y−3z+8 =
0.
(d) Paralelo ao eixo dos z e que conts pontos A(0, 3, 1) e B(2, 0,−1). Resp: 3x +
2y − 6 = 0.
(e) Paralelo ao eixo dos x e que conts pontos A(−2, 0, 2) e B(0,−2, 1). Resp: y −
2z + 4 = 0.
(f) Paralelo ao eixo dos y e que conts pontos A(2, 1, 0) e B(0, 2, 1). Resp: x+2z−2 =
0.
(g) Paralelo ao plano xOy e que cont ponto A(5,−2, 3). Resp: z = 3.
(h) Perpendicular ao eixo dos y e que cont ponto A(3, 4,−1). Resp: y = 4.
(i) Determinar o valor de α para que os pontos A(α,−1, 5), B(7, 2, 1), C(−1,−3,−1)
e D(1, 0, 3) sejam coplanares. Resp: a = −3.
(j) O plano passa pelo ponto A(6, 0,−2) e ralelo aos vetores ~i e −2~j + ~k. Resp:
y + 2z + 4 = 0.
(k) O plano conts pontos A(1,−2, 2) e B(−3, 1,−2) e rpendicular ao plano π :
2x + y − z + 8 = 0. Resp: x − 12y − 10z − 5 = 0.
1
2
(l) O plano cont ponto A(4, 1, 0) e rpendicular aos planos π1 : 2x − y − 4z − 6 = 0
e π2 : x + y + 2z − 3 = 0. Resp: 2x − 8y + 3z = 0.
3. Nos seguintes casos, determinar a equa do plano que conts duas retas dadas:
(a) r1 :
{
y = 2x − 3
z = −x + 2 e r2 :
 x − 1
3
=
z − 1
5
y = −1
. Resp: 5x − 4y − 3z − 6 = 0.
(b) r :
x − 1
2
=
y + 2
3
=
z − 3
−1
e s :
x − 1
−2
=
y + 2
−1
=
z − 3
2
. Resp: 5x−2y+4z−21 = 0.
(c) r1 :

x = −3 + t
y = −t
z = 4
e r2 :
 x + 2
2
=
y − 1
−2
z = 0
. Resp: 2x + 2y + z + 2 = 0.
(d) r1 :

x = −t
y = 1
z = 2 − t
e r2 :
{
x = z
y = −3 . Resp: 2x + y − 2z + 3 = 0.
4. Determine a equa geral do plano que cont ponto A(3,−1, 2) e a reta r :

x = t
y = 2 − t
z = 3 + 2t
.
Resp: x + y − 2 = 0.
5. Determine a equa geral do plano que cont ponto A(1, 2, 1) e a reta r interse do plano
π : x − 2y + z − 3 = 0 e o plano yOz. Resp: 6x − 2y + z − 3 = 0.
6. Determine a equa geral do plano que cont ponto A(1,−1, 2) e o eixo dos z. Resp:
x + y = 0.
7. Estabelecer as equas dos planos bissetores dos ulos formados pelos planos xOz e
yOz. Resp: x + y = 0 e x − y = 0.
8. Determinar o ulo entre os seguintes planos:
(a) π1 : x + 2y + z − 10 = 0 e π2 : 2x + y − z + 1 = 0. Resp: 60o.
(b) π1 : 2x − 2y + 1 = 0 e π2 : 2x − y − z = 0. Resp: 30o.
(c) π1 : 3x + 2y − 6 = 0 e π2 : xOz. Resp: arccos
(
2
√
13
)
.
(d) π1 : 3x + 2y − 6 = 0 e π2 : yOz. Resp: arccos
(
3
√
13
)
.
9. Determinar o valor de m para que seja de 30o o ulo entre os planos π1 : x + my +
2z − 7 = 0 e π2 : 4x + 5y + 3z − 2 = 0. Resp: 1 ou 7.
3
10. Determine a e b de modo que os planosπ1 : ax+by+4z−1 = 0 eπ2 : 3x−5y−2z+5 = 0
sejam paralelos. Resp: a = −6 e b = 10.
11. Determinar o valor de m para que sejam perpendiculares os planos π1 : 2mx+ 2y−
z = 0 e π2 : 3x −my + 2z − 1 = 0. Resp: 1/2
12. Mostrar que a reta r :
x − 1
1
=
y + 1
−2
; z = 0 estntida no plano π : 2x + y − 3z − 1 = 0.
13. Calcular os valores de m e n para que a reta r :
{
y = 2x − 3
z = −x + 4 esteja contida no
plano nx +my − z − 2 = 0. Resp: m = −2 e n = 3.
14. Encontre a equa da reta interse dos planos:
(a) π1 : 3x − y + z − 3 = 0 e π1 : x + 3y + 2z + 4 = 0. Resp: r :
{
y = x − 2
z = −2x + 1
(b) π1 : 3x − 2y + z − 1 = 0 e π1 : x + 2y − z − 7 = 0. Resp: r :
 x = 2
y =
1
2
z +
5
2
15. Determinar os pontos de interse da reta r :
{
y = 2x − 3
z = −x + 2 com os planos coordena-
dos. Resp: (2, 1, 0), (3/2, 0, 1/2) e (0,−3, 2).
16. Determinar os pontos de interse do plano π : 2x + 4y − z − 4 = 0 com os eixos
coordenados e, tamb a reta interse deste plano com o plano xOy. Resp: (2, 0, 0),
(0, 1, 0), (0, 0,−4), r :
 y = −
1
2
x + 1
z = 0
17. Estabelecer as equas simicas da reta que passa pelo ponto A(3, 6, 4) intercepta o
eixo Oz e ralelo ao plano π : x − 3y + 5z − 6. Resp:
x − 3
1
=
y − 6
2
=
z − 4
1
.
18. O plano π : x + y − z − 2 = 0 intercepta os eixos coordenados A, B e C. Calcular a a
do triulo ABC. Resp: 2
√
3.