Determine a e b de modo que os planosπ1 : ax+by+4z−1 = 0 eπ2 : 3x−5y−2z+5 = 0 sejam paralelos.

Para que os planos \(\pi_1\) e \(\pi_2\) sejam paralelos, seus vetores normais devem ser proporcionais. Os vetores normais dos planos são dados pelos coeficientes de \(x\), \(y\) e \(z\) nas equações dos planos. Para o plano \(\pi_1: ax + by + 4z - 1 = 0\), o vetor normal é \((a, b, 4)\). Para o plano \(\pi_2: 3x - 5y - 2z + 5 = 0\), o vetor normal é \((3, -5, -2)\). Os vetores normais são proporcionais se existir um escalar \(k\) tal que: \[ (a, b, 4) = k(3, -5, -2) \] Isso nos dá as seguintes equações: 1. \(a = 3k\) 2. \(b = -5k\) 3. \(4 = -2k\) Da terceira equação, podemos resolver para \(k\): \[ k = -2 \] Substituindo \(k\) nas duas primeiras equações: 1. \(a = 3(-2) = -6\) 2. \(b = -5(-2) = 10\) Portanto, os valores de \(a\) e \(b\) que fazem os planos paralelos são: \[ a = -6 \quad \text{e} \quad b = 10 \]