Calcular a integral trigonométrica

∫(1-cos(t/2))² (sen(t/2))dt

u = 1-cos(t/2) ⇒ du = 1/2 -(-sen(t/2)dt  ⇒ du = 1/2 sen(t/2)dt

∴ ∫(1-cos(t/2))² (sen(t/2))dt = ∫(u)² * 1/2 du

 ∫(u)² * 1/2 du ⇒ 1/2 ∫ u² du

1/2 ∫ u² du = 1/2(u³/3)+c como u = 1-cos(t/2)

1/2 ∫ u² du = 1/2 * (1-cos(t/2))³/3 +c

1/2 ∫ u² du = 2/3 * (1-cos(t/2))³ +c

logo ∫(1-cos(t/2))² (sen(t/2))dt =  (2/3) * (1-cos(t/2))³ + c

Att

Obrigado pela ajuda.

Neste exercício, será realizada a seguinte integral:

\(\Longrightarrow \int (1 -\cos {t \over 2})^2 \sin {t \over 2} \space dt\)  \((I)\)

Será utilizado o método por substituição. Será criada a variável \(u\), conforme apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow u = \cos {t \over 2}\)   \((II)\)

Portanto, a derivada de \(u\) em relação a \(t\) é:

\(\Longrightarrow {du \over dt} = {d \over dt} (\cos {t \over 2})\)

\(\Longrightarrow {du \over dt} = -\sin {t \over 2}{d \over dt} ({t \over 2})\)

\(\Longrightarrow {du \over dt} = -\sin {t \over 2}({1 \over 2})\)

\(\Longrightarrow -2 \space du = \sin {t \over 2} \space dt\)    \((III)\)

Substituindo as equações \((II)\) e \((III)\) na expressão \((I)\), a expressão resultante é:

\(\Longrightarrow \int (1 -\cos {t \over 2})^2 \Big (\sin {t \over 2} \space dt \Big )\)

\(\Longrightarrow \int (1 -u)^2 \Big (-2 \space du \Big )\)

\(\Longrightarrow -2\int (1 -u)^2 du\)

\(\Longrightarrow -2\int (1 -2u +u^2) du\)

Cohecendo a soluçaõ da integral resultante, tem-se que:

\(\Longrightarrow -2 (u -{2 \over 2}u^2 +{1 \over 3}u^3) + c\)

\(\Longrightarrow -2 (u -u^2 +{1 \over 3}u^3) + c\)

Sendo \(c\) uma constante qualquer.

Substituindo a equação \((II)\) na expressão anterior, o resultado final é:

\(\Longrightarrow \int (1 -\cos {t \over 2})^2 \sin {t \over 2} \space dt = -2u \bigg [1 -u +{1 \over 3}u^2 \bigg ] + c\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \int (1 -\cos {t \over 2})^2 \sin {t \over 2} \space dt = -2 \cos {t \over 2} \bigg [1 -\cos {t \over 2} +{1 \over 3}\cos^2 {t \over 2} \bigg ] + c $}\)