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Cálculo Numérico

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Com base nos Erros de Modelagem, analise as sentenças a seguir:
I- Consideremos uma função real contínua f definida sobre um intervalo [a,b] e suponhamos que precisássemos calcular a área delimitada por ela no plano cartesiano. Vimos em Cálculo que a maneira mais precisa de fazer isso é calculando a integral da função f no intervalo [a,b]; esse é o modelo matemático mais apropriado. II- Se precisarmos de uma aproximação ainda melhor, podemos considerar, ao invés da soma das áreas dos retângulos, a soma de área dos trapézios de altura n e bases f(x j) e f(x j+1 ), com 1 ≤ j ≤ n - 1. III- Outro fator que interfere na precisão do modelo matemático adotado é a viabilidade de se considerar todos os fatores que podem interferir no problema – raramente conseguimos representar um problema físico completamente. Assinale a alternativa CORRETA:
I- Consideremos uma função real contínua f definida sobre um intervalo [a,b] e suponhamos que precisássemos calcular a área delimitada por ela no plano cartesiano. Vimos em Cálculo que a maneira mais precisa de fazer isso é calculando a integral da função f no intervalo [a,b]; esse é o modelo matemático mais apropriado.
II- Se precisarmos de uma aproximação ainda melhor, podemos considerar, ao invés da soma das áreas dos retângulos, a soma de área dos trapézios de altura n e bases f(x j) e f(x j+1 ), com 1 ≤ j ≤ n - 1.
III- Outro fator que interfere na precisão do modelo matemático adotado é a viabilidade de se considerar todos os fatores que podem interferir no problema – raramente conseguimos representar um problema físico completamente.
A Somente a sentença III está correta.
B Somente a sentença II está correta.
C As sentenças I, II e III estão corretas.
D Somente a sentença I está correta.
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Aprendendo com Desafios

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há 6 meses

Vamos analisar cada uma das sentenças: I- A afirmação diz que a maneira mais precisa de calcular a área sob a curva de uma função contínua \( f \) no intervalo \([a,b]\) é através da integral da função. Isso é verdade, pois a integral definida realmente fornece a área sob a curva. Portanto, a sentença I está correta. II- A afirmação sugere que, para uma aproximação melhor, podemos usar a soma das áreas dos trapézios em vez da soma das áreas dos retângulos. Isso também é verdade, pois a regra dos trapézios é uma técnica comum para melhorar a aproximação da integral. Portanto, a sentença II está correta. III- A afirmação menciona que a precisão do modelo matemático é afetada pela viabilidade de considerar todos os fatores que podem interferir no problema, e que raramente conseguimos representar um problema físico completamente. Isso é verdade, pois a modelagem matemática muitas vezes simplifica a realidade e não consegue capturar todos os aspectos de um problema. Portanto, a sentença III está correta. Dado que todas as sentenças I, II e III estão corretas, a alternativa correta é: C) As sentenças I, II e III estão corretas.

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Imaginemos desejar, neste momento, medir o perímetro de uma circunferência de raio 1 (sem se importar com a unidade de medida considerada). Sabemos que a fórmula para se calcular essa medida (modelo matemático) é P = 2πr, em que r, neste caso, vale 1.
Com base no exposto, analise as sentenças a seguir: I- O resultado preciso dessa expressão é P = 2π. II- Sabemos que é impossível obter esse valor numericamente, uma vez que π é um número irracional. III- Nem a máquina mais precisa fabricada pelo homem é capaz de fornecer o número π completo. IV- Embora tenhamos o modelo matemático ideal, não conseguimos expressar exatamente o valor deste perímetro – sempre trabalharemos com uma aproximação. Assinale a alternativa CORRETA:
I- O resultado preciso dessa expressão é P = 2π.
II- Sabemos que é impossível obter esse valor numericamente, uma vez que π é um número irracional.
III- Nem a máquina mais precisa fabricada pelo homem é capaz de fornecer o número π completo.
IV- Embora tenhamos o modelo matemático ideal, não conseguimos expressar exatamente o valor deste perímetro – sempre trabalharemos com uma aproximação.
A Somente a sentença III está correta.
B Somente a sentença II está correta.
C As sentenças I, II, III e IV estão corretas.
D Somente a sentença I está correta.

Quando de um problema físico, cuja solução numérica gostaríamos de conhecer, ou de pelo menos encontrar uma aproximação apropriada para este, nos utilizamos de um processo matemático.
Que processo é esse?
A Cálculo Numérico.
B Equações Diferenciais.
C Cálculos Diferenciais.
D Métodos Analíticos.

Considere que as equações 4y + 3z = 1, x + y + z = 0 e x - 2z = 2 formam um sistema de equações lineares.
Qual é o valor de x?
A 0.
B -1.
C 2.
D 1.

Os computadores trabalham com base binária. Com base no exposto, analise as sentenças a seguir:
I- Qualquer dígito que você informa ao computador, ele automaticamente interpreta como uma sequência única de ‘zeros’ e ‘uns’ (0 e 1). II- No caso dos números, ele faz essa conversão, efetua todos os cálculos que você pedir para que ele faça com os números deste jeito e, ao obter a resposta, converte novamente em um número decimal para exibi-lo e para você poder interpretá-lo. III- Qualquer número decimal pode ser representado como uma potência de 10. IV- O número 23 nada mais é do que 20 + 3 = 2. 101 + 3. 100 = (23)10 (lembrando que 100 = 1). Assinale a alternativa CORRETA:
I- Qualquer dígito que você informa ao computador, ele automaticamente interpreta como uma sequência única de ‘zeros’ e ‘uns’ (0 e 1).
II- No caso dos números, ele faz essa conversão, efetua todos os cálculos que você pedir para que ele faça com os números deste jeito e, ao obter a resposta, converte novamente em um número decimal para exibi-lo e para você poder interpretá-lo.
III- Qualquer número decimal pode ser representado como uma potência de 10.
IV- O número 23 nada mais é do que 20 + 3 = 2. 101 + 3. 100 = (23)10 (lembrando que 100 = 1).
A Somente a sentença II está correta.
B As sentenças I, II, III e IV estão corretas.
C Somente a sentença I está correta.
D Somente a sentença III está correta.

Conversão de base numérica é a passagem da representação de um número de uma base numérica para outra, alterando a simbologia para se adequar à nova base. A base que normalmente usamos é a decimal ou base dez, pois contém dez algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Por exemplo, o número inteiro representado em base decimal como 10, pode ser escrito como '1010'.
Sobre a representação do número decimal 1,625 na forma binária, assinale a alternativa CORRETA:
A 1,101.
B 1,010.
C 1,110.
D 1,001.

No dia a dia nos deparamos com vários problemas físicos cuja solução numérica gostaríamos de conhecer ou de, pelo menos, encontrar uma aproximação apropriada para ela. O esquema a seguir nos mostra, de uma maneira simples, como se dá esse processo:
Com base no exposto, analise as sentenças a seguir: I- Qualquer processo de Cálculo Numérico é desenvolvido deste modo, seja na Física, nas engenharias ou em qualquer outra área de aplicação. II- Podemos esperar que, uma vez encontrado o modelo matemático correto, os resultados obtidos sejam iguais aos esperados. III- O Cálculo Numérico surge quando uma resolução analítica torna-se inviável. IV- Na verdade, os resultados obtidos são, muitas vezes, bastante diferentes dos esperados, mesmo que todas as etapas da resolução tenham sido aplicadas corretamente. Assinale a alternativa CORRETA:
I- Qualquer processo de Cálculo Numérico é desenvolvido deste modo, seja na Física, nas engenharias ou em qualquer outra área de aplicação.
II- Podemos esperar que, uma vez encontrado o modelo matemático correto, os resultados obtidos sejam iguais aos esperados.
III- O Cálculo Numérico surge quando uma resolução analítica torna-se inviável.
IV- Na verdade, os resultados obtidos são, muitas vezes, bastante diferentes dos esperados, mesmo que todas as etapas da resolução tenham sido aplicadas corretamente.
A Somente a sentença II está correta.
B Somente a sentença I está correta.
C As sentenças I, II, III e IV estão corretas.
D Somente a sentença III está correta.

Considere uma máquina cujo sistema de representação de número é definido por: a = 10, b = 4, e ∈ [−5,5]. Se a = 42.450 e b = 3, qual o resultado de a + b?
A 0,4245×105
B 0,4246×105
C 0,425×105
D 0,4248×105

No cálculo numérico, é possível encontrar situações interessantes quando trabalhamos a Teoria dos erros. Com base nessas situações, analise as sentenças a seguir:
I- Ao tentar encontrar a foi necessária uma aproximação do que seria o valor real. II- Ao tentar representar um número finito da base 10 para a base binária, Luana observou que, o resultado aparentemente apresentou um erro totalmente inexplicável. III- Juvenal precisou parar um cálculo no meio do processo, pois, percebeu que se tratava de algo infinito. IV- Ao efetuar um cálculo de divisão entre dois números, uma máquina apontou o resultado correto. Assinale a alternativa CORRETA:
I- Ao tentar encontrar a foi necessária uma aproximação do que seria o valor real.
II- Ao tentar representar um número finito da base 10 para a base binária, Luana observou que, o resultado aparentemente apresentou um erro totalmente inexplicável.
III- Juvenal precisou parar um cálculo no meio do processo, pois, percebeu que se tratava de algo infinito.
IV- Ao efetuar um cálculo de divisão entre dois números, uma máquina apontou o resultado correto.
A Na situação I, está clara uma mudança para base 3.
B Na situação II, está claro um erro de modelagem.
C Na situação III, está claro um erro de truncamento.
D Na situação IV, está claro um erro na fase inicial.

Considere a equação y4 – 13y2 + 36 = 0.
Qual é o conjunto solução, no campo real?
A S = {-3, -2, 3 , 2}.
B S = {0, 2, 3}.
C S = {-3, -2, 0, 2, 3}.
D S = {-2, -3}.

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