A derivada da função (pela definição) f(x) = −x-1 é: a) 1/x2 b) 1/x c) – 1/x2 d) – 1/x e) 0

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = -x^{-1} \) pela definição, utilizamos o limite da diferença quociente: \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \] Substituindo \( f(x) \): \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-\frac{1}{x+h} + \frac{1}{x}}{h} \] Simplificando a expressão: \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-\frac{x - (x+h)}{x(x+h)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-\frac{-h}{x(x+h)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{x(x+h)} \] Quando \( h \) tende a 0, a expressão se torna: \[ f'(x) = \frac{1}{x^2} \] Como a função original tem um sinal negativo, a derivada será: \[ f'(x) = -\frac{1}{x^2} \] Portanto, a alternativa correta é: c) – 1/x².