Para resolver a questão, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função \( f(x,y) = 2e^{2x} - \sen(2y) + 24 \). 1. Derivada parcial em relação a \( x \): - A primeira derivada em relação a \( x \) é: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2 \cdot 2e^{2x} = 4e^{2x} \] - A segunda derivada em relação a \( x \) é: \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(4e^{2x}) = 4 \cdot 2e^{2x} = 8e^{2x} \] 2. Derivada parcial em relação a \( y \): - A primeira derivada em relação a \( y \) é: \[ \frac{\partial f}{\partial y} = -2\cos(2y) \] - A segunda derivada em relação a \( y \) é: \[ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(-2\cos(2y)) = -2 \cdot (-2\sen(2y)) = 4\sen(2y) \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 8e^{2x} \) e \( \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -4\sen(2) \) - Incorreta. b) \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 8e^{2x} \) e \( \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -4\sen(2y) \) - Incorreta. c) \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 8e^{2x} \) e \( \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -4\sen(2) \) - Incorreta. d) \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 8e^{2x} \) e \( \frac{\partial f}{\partial y} = 4\sen(2y) \) - Incorreta. Nenhuma das alternativas está correta, pois a derivada parcial de \( y \) deveria ser \( 4\sen(2y) \) e não \( -4\sen(2) \) ou \( 4\sen(2) \). Portanto, você precisa revisar as opções, pois não há uma resposta correta entre as apresentadas.