Vamos analisar cada uma das alternativas para simplificar os fatoriais e verificar qual delas está correta. a) \(\frac{10!}{8!}=\frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{8!}=10 \cdot 9=90\) Correta. A simplificação está correta, pois \(10! = 10 \cdot 9 \cdot 8!\) e ao cancelar \(8!\), obtemos \(90\). b) \(\frac{7! \cdot 9!}{8! \cdot 5!}=\frac{7 \cdot 6 \cdot 5! \cdot 9 \cdot 8!}{8! \cdot 5!}=7 \cdot 6 \cdot 9=378\) Incorreta. A simplificação não está correta, pois o resultado não é \(378\). c) \(\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{(n-2)!}=n \cdot (n-1)=n^{2}-n\) Incorreta. A simplificação está correta até \(n \cdot (n-1)\), mas a expressão final deveria ser \(n^2 - n\) apenas se fosse fatorada, não é a simplificação correta. d) \(\frac{(n-1)!}{(n+1)!}=\frac{(n-1)!}{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!}=\frac{1}{(n+1) \cdot n}=\frac{1}{n^{2}+n}\) Correta. A simplificação está correta, pois ao cancelar \((n-1)!\), obtemos \(\frac{1}{(n+1) \cdot n}\), que é igual a \(\frac{1}{n^2 + n}\). Portanto, as alternativas corretas são a) e d).