Para resolver a igualdade \(\frac{a}{3}-\frac{b}{5} i=\left(\cos \frac{\pi}{6}+i \operatorname{sen} \frac{\pi}{6}\right)^{4}\), vamos primeiro calcular o lado direito da equação. Sabemos que \(\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) e \(\sen \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\). Assim, podemos escrever: \[ \cos \frac{\pi}{6} + i \sen \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \] Agora, elevamos isso à quarta potência. Usando a fórmula de De Moivre, temos: \[ \left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sen \frac{\pi}{6}\right)^{4} = \cos\left(4 \cdot \frac{\pi}{6}\right) + i \sen\left(4 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i \sen\left(\frac{2\pi}{3}\right) \] Calculando os valores: \[ \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} \quad \text{e} \quad \sen\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Portanto, temos: \[ \left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sen \frac{\pi}{6}\right)^{4} = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \] Agora, igualamos os dois lados da equação: \[ \frac{a}{3} - \frac{b}{5} i = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \] Isso nos dá duas equações: 1. \(\frac{a}{3} = -\frac{1}{2}\) 2. \(-\frac{b}{5} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) Resolvendo a primeira equação para \(a\): \[ a = -\frac{1}{2} \cdot 3 = -\frac{3}{2} \] Resolvendo a segunda equação para \(b\): \[ b = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 5 = -\frac{5\sqrt{3}}{2} \] Agora, precisamos encontrar o quociente \(\frac{a}{b}\): \[ \frac{a}{b} = \frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{5\sqrt{3}}{2}} = \frac{3}{5\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{15} = \frac{\sqrt{3}}{5} \] Portanto, a resposta correta é: A) \(\sqrt{3}/5\)