Para resolver a equação \(x^{3}-8=0\), podemos reescrevê-la como \(x^{3} = 8\). As raízes dessa equação são: 1. A raiz real: \(x_1 = 2\). 2. As raízes complexas podem ser encontradas usando a forma polar. A equação pode ser expressa como \(x^{3} = 8\), que é \(8 = 8(\cos 0 + i \sin 0)\). As raízes complexas são dadas por: \[ x_k = 2 \left( \cos\left(\frac{2k\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{2k\pi}{3}\right) \right) \quad \text{para } k = 0, 1, 2. \] Calculando as raízes: - Para \(k=0\): \(x_0 = 2\) (raiz real). - Para \(k=1\): \(x_1 = 2 \left( \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \right) = 2 \left( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -1 + i\sqrt{3}\). - Para \(k=2\): \(x_2 = 2 \left( \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) \right) = 2 \left( -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -1 - i\sqrt{3}\). As raízes são: \(2\), \(-1 + i\sqrt{3}\) e \(-1 - i\sqrt{3}\). Agora, podemos representar essas raízes no plano complexo. Os pontos são: - \(A(2, 0)\) - \(B(-1, \sqrt{3})\) - \(C(-1, -\sqrt{3})\) A figura formada por esses pontos é um triângulo. Para calcular a área do triângulo formado por esses pontos, podemos usar a fórmula da área de um triângulo com vértices em \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\) e \((x_3, y_3)\): \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|. \] Substituindo os valores: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| 2(\sqrt{3} - (-\sqrt{3})) + (-1)(-\sqrt{3} - 0) + (-1)(0 - \sqrt{3}) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 2(2\sqrt{3}) + \sqrt{3} + \sqrt{3} \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 6\sqrt{3} \right| = 3\sqrt{3}. \] Portanto, a área do triângulo formado pelos afixos das raízes complexas da equação \(x^{3}-8=0\) é \(3\sqrt{3}\). A alternativa correta é: E) \(3\sqrt{3}\).