Grátis: Seja o número complexo \(z=\frac{x+y i}{3+4 i}\), com x e y reais e \(i^{2}=-1\). Se \(x^{2}+y^{2}=20\), então o módulo de z é igual a: A) 0 B) \(\...

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Seja o número complexo \(z=\frac{x+y i}{3+4 i}\), com x e y reais e \(i^{2}=-1\). Se \(x^{2}+y^{2}=20\), então o módulo de z é igual a:
A) 0
B) \(\sqrt{5}\)
C) \(2 \sqrt{5/5}\)
D) 4
E) 10

Estudo Através de Questões

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Para encontrar o módulo do número complexo \( z = \frac{x + yi}{3 + 4i} \), precisamos primeiro multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é \( 3 - 4i \). Assim, temos: \[ z = \frac{(x + yi)(3 - 4i)}{(3 + 4i)(3 - 4i)} \] Calculando o denominador: \[ (3 + 4i)(3 - 4i) = 3^2 - (4i)^2 = 9 - 16(-1) = 9 + 16 = 25 \] Agora, calculando o numerador: \[ (x + yi)(3 - 4i) = 3x - 4xi + 3yi - 4y(-1) = 3x + 4y + (3y - 4x)i \] Portanto, temos: \[ z = \frac{3x + 4y + (3y - 4x)i}{25} \] O módulo de \( z \) é dado por: \[ |z| = \frac{\sqrt{(3x + 4y)^2 + (3y - 4x)^2}}{25} \] Agora, vamos calcular \( (3x + 4y)^2 + (3y - 4x)^2 \): 1. \( (3x + 4y)^2 = 9x^2 + 24xy + 16y^2 \) 2. \( (3y - 4x)^2 = 9y^2 - 24xy + 16x^2 \) Somando: \[ (3x + 4y)^2 + (3y - 4x)^2 = 9x^2 + 16y^2 + 9y^2 + 16x^2 = 25x^2 + 25y^2 = 25(x^2 + y^2) \] Como sabemos que \( x^2 + y^2 = 20 \): \[ (3x + 4y)^2 + (3y - 4x)^2 = 25 \cdot 20 = 500 \] Portanto, o módulo de \( z \) é: \[ |z| = \frac{\sqrt{500}}{25} = \frac{10\sqrt{5}}{25} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \] Nenhuma das alternativas parece corresponder exatamente a esse resultado, mas a alternativa que mais se aproxima é a opção C) \( 2 \sqrt{5/5} \), que é equivalente a \( \frac{2\sqrt{5}}{5} \). Portanto, a resposta correta é: C) \( 2 \sqrt{5/5} \).

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Simplificando-se a expressão \(rac{(2-2 i)^{10}}{i^{2021}}\), onde i é a unidade imaginária, obtém-se
A) -2^{15} i.
B) 2^{15}.
C) -2^{10}.
D) -2^{15}.
E) 2^{15} i.

No plano complexo, temos uma circunferência λ de raio 2 centrada na origem. Sendo ABCD um quadrado inscrito à λ, de acordo com a figura abaixo, podemos afirmar que o número complexo que representa o vértice B é
A) -\(rac{1}{2}+rac{\sqrt{3}}{2} i\)
B) -\(\sqrt{3}-i\)
C) -1+\sqrt{3} i
D) -\(rac{1}{2}-rac{\sqrt{3}}{2} i\)
E) -\(rac{\sqrt{3}}{2}+rac{1}{2} i\)

Seja a igualdade \(\frac{a}{3}-\frac{b}{5} i=\left(\cos \frac{\pi}{6}+i \operatorname{sen} \frac{\pi}{6}\right)^{4}\), onde i é a unidade imaginária. Se a e b são números reais, então o quociente a/b é igual a
A) \(\sqrt{3}/5\)
B) \((3 \sqrt{3})/5\)
C) \((-3 \sqrt{3})/5\)
D) -\sqrt{3}/5
E) \((16 \sqrt{3})/r 4\)

Sejam z e v números complexos onde |z|=1 e v tem coordenadas no plano de Argand-Gauss ( \(\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2\)). Sobre o número complexo z e v (resultante da multiplicação dos complexos z e v), podemos afirmar que
A) sempre é um número real.
B) sempre tem módulo igual a 2.
C) sempre é um número imaginário puro.
D) pertence à circunferência \(x^{2}+y^{2}=1\)
E) sempre tem argumento igual a \(\pi/4\)

Se \((1+i)\left(\cos \frac{x}{12}+\operatorname{isen} \frac{x}{12}\right)=x+i y\), em que i é a unidade imaginária e x e y são números reais, o valor de \(\sqrt{3} \cdot x+y\) é
A) \(\sqrt{6}\)
B) \(\sqrt{3}\)
C) \(\sqrt{2}/2\)
D) \(3 \sqrt{6}\)
E) \(\sqrt{3}/2\)

Sendo z o número complexo obtido na rotação de 90°, em relação à origem, do número complexo 1+i, determine z^3:
A) 1-i
B) -1+i
C) -2i
D) -1-2i
E) 2+2i

A figura geométrica formada pelos afixos das raízes complexas da equação \(x^{3}-8=0\) tem área igual a
A) 7 \(\sqrt{3}\)
B) 6 \(\sqrt{3}\)
C) 5 \(\sqrt{3}\)
D) 4 \(\sqrt{3}\)
E) 3 \(\sqrt{3}\)

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Simplificando-se a expressão \( rac{(2-2 i)^{10}}{i^{2021}}\), onde i é a unidade imaginária, obtém-seA) -2^{15} i.B) 2^{15}.C) -2^{10}.D) -2^{15}.E) 2^{15} i.

Se \((1+i)\left(\cos \frac{x}{12}+\operatorname{isen} \frac{x}{12}\right)=x+i y\), em que i é a unidade imaginária e x e y são números reais, o valor de \(\sqrt{3} \cdot x+y\) éA) \(\sqrt{6}\)B) \(\sqrt{3}\)C) \(\sqrt{2}/2\)D) \(3 \sqrt{6}\)E) \(\sqrt{3}/2\)

Sendo z o número complexo obtido na rotação de 90°, em relação à origem, do número complexo 1+i, determine z^3:A) 1-iB) -1+iC) -2iD) -1-2iE) 2+2i

A figura geométrica formada pelos afixos das raízes complexas da equação \(x^{3}-8=0\) tem área igual aA) 7 \(\sqrt{3}\)B) 6 \(\sqrt{3}\)C) 5 \(\sqrt{3}\)D) 4 \(\sqrt{3}\)E) 3 \(\sqrt{3}\)

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D) -2^{15}.
E) 2^{15} i.

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A) \(\sqrt{6}\)
B) \(\sqrt{3}\)
C) \(\sqrt{2}/2\)
D) \(3 \sqrt{6}\)
E) \(\sqrt{3}/2\)

Sendo z o número complexo obtido na rotação de 90°, em relação à origem, do número complexo 1+i, determine z^3:
A) 1-i
B) -1+i
C) -2i
D) -1-2i
E) 2+2i

A figura geométrica formada pelos afixos das raízes complexas da equação \(x^{3}-8=0\) tem área igual a
A) 7 \(\sqrt{3}\)
B) 6 \(\sqrt{3}\)
C) 5 \(\sqrt{3}\)
D) 4 \(\sqrt{3}\)
E) 3 \(\sqrt{3}\)