Simplificando-se a expressão $rac{(2-2 i)^{10}}{i^{2021}}$, onde i é a unidade imaginária, obtém-se
A) -2^{15} i.
B) 2^{15}.
C) -2^{10}.
D) -2^{15}.
E) 2^{15} i.

Question

Simplificando-se a expressão $rac{(2-2 i)^{10}}{i^{2021}}$, onde i é a unidade imaginária, obtém-se
A) -2^{15} i.
B) 2^{15}.
C) -2^{10}.
D) -2^{...

Ed · Answer

Para simplificar a expressão $\frac{(2-2i)^{10}}{i^{2021}}$, vamos seguir os passos:

1. **Simplificar $ (2 - 2i)^{10} $**:
   Podemos fatorar $2$ da expressão:
   $$
   (2 - 2i)^{10} = 2^{10} (1 - i)^{10}
   $$

2. **Encontrar $ (1 - i)^{10} $**:
   Para isso, podemos usar a forma polar. O número $1 - i$ pode ser escrito em forma polar:
   $$
   1 - i = \sqrt{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right)
   $$
   Portanto, elevando à décima potência:
   $$
   (1 - i)^{10} = (\sqrt{2})^{10} \left( \cos\left(-\frac{10\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{10\pi}{4}\right) \right) = 2^5 \left( \cos\left(-\frac{5\pi}{2}\right) + i \sin\left(-\frac{5\pi}{2}\right) \right)
   $$
   Como $-\frac{5\pi}{2}$ é equivalente a $-\frac{\pi}{2}$, temos:
   $$
   \cos\left(-\frac{5\pi}{2}\right) = 0 \quad \text{e} \quad \sin\left(-\frac{5\pi}{2}\right) = -1
   $$
   Portanto:
   $$
   (1 - i)^{10} = 2^5 (0 - i) = -2^5 i
   $$

3. **Substituir na expressão**:
   Agora, substituímos na expressão original:
   $$
   (2 - 2i)^{10} = 2^{10} (-2^5 i) = -2^{15} i
   $$

4. **Simplificar $ i^{2021} $**:
   Sabemos que $i^4 = 1$, então:
   $$
   i^{2021} = i^{2021 \mod 4} = i^{1} = i
   $$

5. **Colocar tudo junto**:
   Agora, substituímos na fração:
   $$
   \frac{(2 - 2i)^{10}}{i^{2021}} = \frac{-2^{15} i}{i} = -2^{15}
   $$

Portanto, a resposta correta é:
**D) -2^{15}.**

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Se \((1+i)\left(\cos \frac{x}{12}+\operatorname{isen} \frac{x}{12}\right)=x+i y\), em que i é a unidade imaginária e x e y são números reais, o valor de \(\sqrt{3} \cdot x+y\) é
A) \(\sqrt{6}\)
B) \(\sqrt{3}\)
C) \(\sqrt{2}/2\)
D) \(3 \sqrt{6}\)
E) \(\sqrt{3}/2\)

Sendo z o número complexo obtido na rotação de 90°, em relação à origem, do número complexo 1+i, determine z^3:
A) 1-i
B) -1+i
C) -2i
D) -1-2i
E) 2+2i

A figura geométrica formada pelos afixos das raízes complexas da equação \(x^{3}-8=0\) tem área igual a
A) 7 \(\sqrt{3}\)
B) 6 \(\sqrt{3}\)
C) 5 \(\sqrt{3}\)
D) 4 \(\sqrt{3}\)
E) 3 \(\sqrt{3}\)

Seja o número complexo \(z=\frac{x+y i}{3+4 i}\), com x e y reais e \(i^{2}=-1\). Se \(x^{2}+y^{2}=20\), então o módulo de z é igual a:
A) 0
B) \(\sqrt{5}\)
C) \(2 \sqrt{5/5}\)
D) 4
E) 10

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Sendo z o número complexo obtido na rotação de 90°, em relação à origem, do número complexo 1+i, determine z^3:A) 1-iB) -1+iC) -2iD) -1-2iE) 2+2i

A figura geométrica formada pelos afixos das raízes complexas da equação \(x^{3}-8=0\) tem área igual aA) 7 \(\sqrt{3}\)B) 6 \(\sqrt{3}\)C) 5 \(\sqrt{3}\)D) 4 \(\sqrt{3}\)E) 3 \(\sqrt{3}\)

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C) -2i
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A) 7 \(\sqrt{3}\)
B) 6 \(\sqrt{3}\)
C) 5 \(\sqrt{3}\)
D) 4 \(\sqrt{3}\)
E) 3 \(\sqrt{3}\)

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A) 0
B) \(\sqrt{5}\)
C) \(2 \sqrt{5/5}\)
D) 4
E) 10