Resolva os sistemas abaixo: a) egin{aligned}& x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=8 \& -x_{1}-2 x_{2}+3 x_{3}=1 \& 3 x_{1}-7 x_{2}+4 x_{3}=10 end{aligned}

Para resolver o sistema de equações: 1) \( x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 8 \) 2) \( -x_{1} - 2x_{2} + 3x_{3} = 1 \) 3) \( 3x_{1} - 7x_{2} + 4x_{3} = 10 \) Podemos usar o método da eliminação ou o método de substituição. Vou usar o método da eliminação: Primeiro, vamos organizar as equações: 1) \( x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 8 \) 2) \( -x_{1} - 2x_{2} + 3x_{3} = 1 \) 3) \( 3x_{1} - 7x_{2} + 4x_{3} = 10 \) Agora, vamos somar a primeira e a segunda equação para eliminar \( x_{1} \): \[ (x_{1} + x_{2} + 2x_{3}) + (-x_{1} - 2x_{2} + 3x_{3}) = 8 + 1 \] Isso resulta em: \[ -x_{2} + 5x_{3} = 9 \quad \text{(Equação 4)} \] Agora, vamos usar a primeira equação e a terceira para eliminar \( x_{1} \): Multiplicamos a primeira equação por 3: \[ 3(x_{1} + x_{2} + 2x_{3}) = 3(8) \] Isso resulta em: \[ 3x_{1} + 3x_{2} + 6x_{3} = 24 \] Agora, subtraímos a terceira equação: \[ (3x_{1} + 3x_{2} + 6x_{3}) - (3x_{1} - 7x_{2} + 4x_{3}) = 24 - 10 \] Isso resulta em: \[ 10x_{2} + 2x_{3} = 14 \quad \text{(Equação 5)} \] Agora temos um sistema com duas equações (Equação 4 e Equação 5): 1) \( -x_{2} + 5x_{3} = 9 \) 2) \( 10x_{2} + 2x_{3} = 14 \) Vamos resolver a Equação 4 para \( x_{2} \): \[ x_{2} = 5x_{3} - 9 \] Substituímos \( x_{2} \) na Equação 5: \[ 10(5x_{3} - 9) + 2x_{3} = 14 \] Isso resulta em: \[ 50x_{3} - 90 + 2x_{3} = 14 \] \[ 52x_{3} = 104 \] \[ x_{3} = 2 \] Agora, substituímos \( x_{3} \) de volta na Equação 4 para encontrar \( x_{2} \): \[ -x_{2} + 5(2) = 9 \] \[ -x_{2} + 10 = 9 \] \[ -x_{2} = -1 \quad \Rightarrow \quad x_{2} = 1 \] Agora, substituímos \( x_{2} \) e \( x_{3} \) na primeira equação para encontrar \( x_{1} \): \[ x_{1} + 1 + 2(2) = 8 \] \[ x_{1} + 1 + 4 = 8 \] \[ x_{1} + 5 = 8 \] \[ x_{1} = 3 \] Portanto, a solução do sistema é: \[ x_{1} = 3, \quad x_{2} = 1, \quad x_{3} = 2 \]