Resolva por cramer e escalonamento: 3. egin{aligned}\{x-2 y+z=-4 \ 2 x+y-z=-1 \ -x+3 y-4 z=3\end{aligned}

Para resolver o sistema de equações usando a regra de Cramer e escalonamento, vamos primeiro organizar as equações: 1. \( x - 2y + z = -4 \) 2. \( 2x + y - z = -1 \) 3. \( -x + 3y - 4z = 3 \) Passo 1: Montar a matriz dos coeficientes (A) e a matriz aumentada (A|B) A matriz dos coeficientes \( A \) é: \[ A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & 3 & -4 \end{bmatrix} \] E a matriz aumentada \( (A|B) \) é: \[ (A|B) = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & | & -4 \\ 2 & 1 & -1 & | & -1 \\ -1 & 3 & -4 & | & 3 \end{bmatrix} \] Passo 2: Calcular o determinante de A (\(D\)) \[ D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & 3 & -4 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante: \[ D = 1 \cdot (1 \cdot (-4) - (-1) \cdot 3) - (-2) \cdot (2 \cdot (-4) - (-1) \cdot (-1)) + 1 \cdot (2 \cdot 3 - 1 \cdot (-1)) \] \[ D = 1 \cdot (-4 + 3) + 2 \cdot (-8 - 1) + 1 \cdot (6 + 1) \] \[ D = 1 \cdot (-1) + 2 \cdot (-9) + 1 \cdot 7 \] \[ D = -1 - 18 + 7 = -12 \] Passo 3: Calcular os determinantes \(D_x\), \(D_y\) e \(D_z\) Para \(D_x\), substituímos a primeira coluna de \(A\) pela coluna de constantes: \[ D_x = \begin{vmatrix} -4 & -2 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 3 & 3 & -4 \end{vmatrix} \] Calculando \(D_x\): \[ D_x = -4 \cdot (1 \cdot (-4) - (-1) \cdot 3) - (-2) \cdot (-1 \cdot (-4) - (-1) \cdot 3) + 1 \cdot (-1 \cdot 3 - 1 \cdot 3) \] \[ D_x = -4 \cdot (-4 + 3) + 2 \cdot (4 - 3) + 1 \cdot (-3 - 3) \] \[ D_x = -4 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 - 6 = 4 + 2 - 6 = 0 \] Para \(D_y\), substituímos a segunda coluna de \(A\): \[ D_y = \begin{vmatrix} 1 & -4 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -4 \end{vmatrix} \] Calculando \(D_y\): \[ D_y = 1 \cdot (-1 \cdot (-4) - (-1) \cdot 3) - (-4) \cdot (2 \cdot (-4) - (-1) \cdot (-1)) + 1 \cdot (2 \cdot 3 - (-1) \cdot (-1)) \] \[ D_y = 1 \cdot (4 - 3) + 4 \cdot (-8 - 1) + 1 \cdot (6 - 1) \] \[ D_y = 1 + 4 \cdot (-9) + 5 = 1 - 36 + 5 = -30 \] Para \(D_z\), substituímos a terceira coluna de \(A\): \[ D_z = \begin{vmatrix} 1 & -2 & -4 \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & 3 & 3 \end{vmatrix} \] Calculando \(D_z\): \[ D_z = 1 \cdot (1 \cdot 3 - (-1) \cdot 3) - (-2) \cdot (2 \cdot 3 - (-1) \cdot (-1)) - 4 \cdot (2 \cdot 3 - 1 \cdot (-1)) \] \[ D_z = 1 \cdot (3 + 3) + 2 \cdot (6 - 1) - 4 \cdot (6 + 1) \] \[ D_z = 6 + 2 \cdot 5 - 4 \cdot 7 = 6 + 10 - 28 = -12 \] Passo 4: Calcular as variáveis Agora, usando a regra de Cramer: \[ x = \frac{D_x}{D} = \frac{0}{-12} = 0 \] \[ y = \frac{D_y}{D} = \frac{-30}{-12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} \] \[ z = \frac{D_z}{D} = \frac{-12}{-12} = 1 \] Solução Final: As soluções do sistema são: \[ x = 0, \quad y = \frac{5}{2}, \quad z = 1 \]