Resolver por escalonamento: a) egin{aligned}& 5 x-2 y+2 z=2 \& 3 x+y+4 z=-1 \& 4 x-3 y+z=3 end{aligned}

Para resolver o sistema de equações por escalonamento, siga os passos abaixo: 1. Escreva o sistema na forma de matriz aumentada: \[ \begin{pmatrix} 5 & -2 & 2 & | & 2 \\ 3 & 1 & 4 & | & -1 \\ 4 & -3 & 1 & | & 3 \end{pmatrix} \] 2. Aplique operações elementares para transformar a matriz em forma escalonada: - Primeiro, podemos trocar a primeira linha com a segunda para facilitar os cálculos: \[ \begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 & | & -1 \\ 5 & -2 & 2 & | & 2 \\ 4 & -3 & 1 & | & 3 \end{pmatrix} \] - Agora, vamos fazer \(L_2 = L_2 - \frac{5}{3}L_1\) e \(L_3 = L_3 - \frac{4}{3}L_1\): \[ \begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 & | & -1 \\ 0 & -\frac{11}{3} & -\frac{10}{3} & | & \frac{11}{3} \\ 0 & -\frac{13}{3} & -\frac{5}{3} & | & \frac{19}{3} \end{pmatrix} \] - Multiplicando a segunda linha por \(-3/11\) para simplificar: \[ \begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 & | & -1 \\ 0 & 1 & \frac{10}{11} & | & -1 \\ 0 & -\frac{13}{3} & -\frac{5}{3} & | & \frac{19}{3} \end{pmatrix} \] - Agora, vamos fazer \(L_3 = L_3 + \frac{13}{3}L_2\): \[ \begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 & | & -1 \\ 0 & 1 & \frac{10}{11} & | & -1 \\ 0 & 0 & \frac{25}{11} & | & 0 \end{pmatrix} \] 3. Resolva a última equação: A última linha nos dá \( \frac{25}{11}z = 0 \Rightarrow z = 0 \). 4. Substitua \(z\) nas outras equações: Substituindo \(z = 0\) na segunda linha: \[ y + \frac{10}{11}(0) = -1 \Rightarrow y = -1 \] Substituindo \(y\) e \(z\) na primeira linha: \[ 3x + 1( -1) + 4(0) = -1 \Rightarrow 3x - 1 = -1 \Rightarrow 3x = 0 \Rightarrow x = 0 \] 5. Solução final: A solução do sistema é: \[ x = 0, \quad y = -1, \quad z = 0 \]