Resolva por cramer e escalonamento: 1. egin{aligned}\{x-2 y+3 z=0 \ -2 x+5 y-3 z=1 \ -x+3 y-2 z=5\end{aligned}

Para resolver o sistema de equações usando a regra de Cramer e escalonamento, vamos primeiro organizar as equações: 1. \( x - 2y + 3z = 0 \) 2. \( -2x + 5y - 3z = 1 \) 3. \( -x + 3y - 2z = 5 \) ### Passo 1: Matriz dos coeficientes A matriz dos coeficientes \( A \) é: \[ A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 5 & -3 \\ -1 & 3 & -2 \end{bmatrix} \] ### Passo 2: Determinante de A Calculamos o determinante de \( A \): \[ \text{det}(A) = 1 \cdot (5 \cdot -2 - (-3) \cdot 3) - (-2) \cdot (-2 \cdot -2 - (-3) \cdot -1) + 3 \cdot (-2 \cdot 3 - 5 \cdot -1) \] Calculando: \[ \text{det}(A) = 1 \cdot (-10 + 9) - (-2) \cdot (4 - 3) + 3 \cdot (-6 + 5) \] \[ = 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 - 3 \cdot 1 \] \[ = -1 + 2 - 3 = -2 \] ### Passo 3: Matriz para \( x \), \( y \) e \( z \) Agora, vamos calcular os determinantes \( D_x \), \( D_y \) e \( D_z \) substituindo a coluna dos termos independentes. #### Para \( D_x \): Substituímos a primeira coluna pela coluna dos termos independentes \( [0, 1, 5] \): \[ D_x = \begin{vmatrix} 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & -3 \\ 5 & 3 & -2 \end{vmatrix} \] Calculando \( D_x \): \[ D_x = 0 + 2 \cdot (1 \cdot -2 - (-3) \cdot 5) + 3 \cdot (1 \cdot 3 - 5 \cdot 5) \] \[ = 2 \cdot (-2 + 15) + 3 \cdot (3 - 25) \] \[ = 2 \cdot 13 + 3 \cdot (-22) = 26 - 66 = -40 \] #### Para \( D_y \): Substituímos a segunda coluna: \[ D_y = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 \\ -2 & 1 & -3 \\ -1 & 5 & -2 \end{vmatrix} \] Calculando \( D_y \): \[ D_y = 1 \cdot (1 \cdot -2 - (-3) \cdot 5) - 0 + 3 \cdot (-2 \cdot 5 - 1 \cdot -1) \] \[ = 1 \cdot (-2 + 15) + 3 \cdot (-10 + 1) \] \[ = 1 \cdot 13 + 3 \cdot -9 = 13 - 27 = -14 \] #### Para \( D_z \): Substituímos a terceira coluna: \[ D_z = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ -2 & 5 & 1 \\ -1 & 3 & 5 \end{vmatrix} \] Calculando \( D_z \): \[ D_z = 1 \cdot (5 \cdot 5 - 1 \cdot 3) - (-2) \cdot (-2 \cdot 5 - 1 \cdot -1) + 0 \] \[ = 1 \cdot (25 - 3) - 2 \cdot (-10 + 1) \] \[ = 1 \cdot 22 - 2 \cdot -9 = 22 + 18 = 40 \] ### Passo 4: Solução Agora, usando a regra de Cramer: \[ x = \frac{D_x}{\text{det}(A)} = \frac{-40}{-2} = 20 \] \[ y = \frac{D_y}{\text{det}(A)} = \frac{-14}{-2} = 7 \] \[ z = \frac{D_z}{\text{det}(A)} = \frac{40}{-2} = -20 \] ### Resumo da solução A solução do sistema é: \[ x = 20, \quad y = 7, \quad z = -20 \]