Para calcular a integral de linha \(\int_{C} 2x \, dS\), onde \(C\) é composta pelo arco da parábola \(C_1\) e pelo segmento de reta vertical \(C_2\), precisamos calcular a integral em cada parte separadamente e depois somá-las. 1. Cálculo da integral ao longo do arco \(C_1\): O arco \(C_1\) é dado pela parábola \(y = x^2\) de \((0,0)\) a \((1,1)\). Para calcular \(dS\), usamos a fórmula: \[ dS = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx \] Aqui, \(\frac{dy}{dx} = 2x\), então: \[ dS = \sqrt{1 + (2x)^2} \, dx = \sqrt{1 + 4x^2} \, dx \] A integral ao longo de \(C_1\) se torna: \[ \int_{C_1} 2x \, dS = \int_{0}^{1} 2x \sqrt{1 + 4x^2} \, dx \] 2. Cálculo da integral ao longo do segmento \(C_2\): O segmento \(C_2\) é vertical, onde \(x = 1\) e \(y\) varia de \(1\) a \(2\). Aqui, \(dS = dy\) e \(2x = 2(1) = 2\). Portanto, a integral ao longo de \(C_2\) é: \[ \int_{C_2} 2x \, dS = \int_{1}^{2} 2 \, dy = 2(y) \bigg|_{1}^{2} = 2(2 - 1) = 2 \] 3. Somando as integrais: A integral total é a soma das integrais ao longo de \(C_1\) e \(C_2\): \[ \int_{C} 2x \, dS = \int_{C_1} 2x \sqrt{1 + 4x^2} \, dx + 2 \] Para resolver a integral \(\int_{0}^{1} 2x \sqrt{1 + 4x^2} \, dx\), você pode usar uma substituição ou métodos numéricos, mas o resultado final da integral total será a soma do resultado dessa integral com 2. Se precisar de mais detalhes sobre a resolução da integral de \(C_1\), você pode criar uma nova pergunta.