Resolva a equação 5 \log _{5}\left(x^{2}-24\right)=2 x.

Para resolver a equação \( 5 \log_{5}(x^{2}-24) = 2x \), vamos seguir os passos: 1. Simplificar a equação: Divida ambos os lados por 5: \[ \log_{5}(x^{2}-24) = \frac{2x}{5} \] 2. Transformar a equação logarítmica em exponencial: A equação logarítmica pode ser reescrita como: \[ x^{2} - 24 = 5^{\frac{2x}{5}} \] 3. Reorganizar a equação: Agora, temos: \[ x^{2} - 5^{\frac{2x}{5}} - 24 = 0 \] 4. Resolver a equação: Essa equação não é fácil de resolver analiticamente, então podemos tentar valores de \( x \) para encontrar soluções. Vamos testar alguns valores: - Para \( x = 6 \): \[ 6^{2} - 24 = 36 - 24 = 12 \] \[ 5^{\frac{2 \cdot 6}{5}} = 5^{2.4} \approx 25.12 \quad (\text{não é solução}) \] - Para \( x = 5 \): \[ 5^{2} - 24 = 25 - 24 = 1 \] \[ 5^{\frac{2 \cdot 5}{5}} = 5^{2} = 25 \quad (\text{não é solução}) \] - Para \( x = 4 \): \[ 4^{2} - 24 = 16 - 24 = -8 \quad (\text{não é solução}) \] - Para \( x = 8 \): \[ 8^{2} - 24 = 64 - 24 = 40 \] \[ 5^{\frac{2 \cdot 8}{5}} = 5^{3.2} \approx 215.44 \quad (\text{não é solução}) \] Após testar alguns valores, você pode usar métodos numéricos ou gráficos para encontrar a solução exata. A solução exata pode ser complexa, mas você pode usar uma calculadora gráfica ou software para encontrar a interseção das funções \( y = x^{2} - 24 \) e \( y = 5^{\frac{2x}{5}} \). Se precisar de mais ajuda, é só avisar!