(Esal-MG) Determine os valores (x, y) que são soluções do sistema \left(3^{x+y}=81 \log _{3} x+\log _{3} y=1\right.

Para resolver o sistema de equações: 1. Primeira equação: \(3^{x+y} = 81\) Sabemos que \(81 = 3^4\), então podemos reescrever a equação como: \[ 3^{x+y} = 3^4 \] Isso implica que: \[ x + y = 4 \] 2. Segunda equação: \(\log_3 x + \log_3 y = 1\) Usando a propriedade dos logaritmos, podemos combinar os logaritmos: \[ \log_3 (xy) = 1 \] Isso significa que: \[ xy = 3^1 = 3 \] Agora temos um sistema de duas equações: 1. \(x + y = 4\) 2. \(xy = 3\) Podemos resolver esse sistema substituindo \(y\) da primeira equação na segunda. Da primeira equação, temos: \[ y = 4 - x \] Substituindo na segunda equação: \[ x(4 - x) = 3 \] \[ 4x - x^2 = 3 \] \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \(a = 1\), \(b = -4\) e \(c = 3\): \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm 2}{2} \] Isso nos dá duas soluções: 1. \(x = \frac{6}{2} = 3\) 2. \(x = \frac{2}{2} = 1\) Agora, substituímos esses valores de \(x\) para encontrar \(y\): - Se \(x = 3\), então \(y = 4 - 3 = 1\). - Se \(x = 1\), então \(y = 4 - 1 = 3\). Portanto, as soluções do sistema são: \[ (x, y) = (3, 1) \quad \text{ou} \quad (1, 3) \]