Calcule o valor da soma \log _{9} 3+\log _{3} 9.

Para calcular a soma \(\log_{9} 3 + \log_{3} 9\), podemos usar a mudança de base e algumas propriedades dos logaritmos. 1. Mudança de base: \[ \log_{9} 3 = \frac{\log_{3} 3}{\log_{3} 9} \] Sabemos que \(\log_{3} 3 = 1\) e \(\log_{3} 9 = \log_{3} (3^2) = 2\). Portanto: \[ \log_{9} 3 = \frac{1}{2} \] 2. Agora, calculamos \(\log_{3} 9\): \[ \log_{3} 9 = 2 \] 3. Agora, somamos os dois resultados: \[ \log_{9} 3 + \log_{3} 9 = \frac{1}{2} + 2 \] Para somar, precisamos de um denominador comum: \[ \frac{1}{2} + \frac{4}{2} = \frac{5}{2} \] Portanto, o valor da soma \(\log_{9} 3 + \log_{3} 9\) é \(\frac{5}{2}\).