Sabendo que \frac{1}{\log _{x} 2}+\frac{1}{\log _{y} 2}+\frac{1}{\log _{z} 2}=3, calcule o valor do produto x y z.

Para resolver a equação \(\frac{1}{\log_{x} 2} + \frac{1}{\log_{y} 2} + \frac{1}{\log_{z} 2} = 3\), podemos usar a mudança de base do logaritmo. Sabemos que \(\log_{x} 2 = \frac{\log 2}{\log x}\), então: \[ \frac{1}{\log_{x} 2} = \frac{\log x}{\log 2} \] Substituindo na equação, temos: \[ \frac{\log x}{\log 2} + \frac{\log y}{\log 2} + \frac{\log z}{\log 2} = 3 \] Multiplicando toda a equação por \(\log 2\): \[ \log x + \log y + \log z = 3 \log 2 \] Usando a propriedade dos logaritmos, sabemos que \(\log (xyz) = \log x + \log y + \log z\). Portanto: \[ \log (xyz) = 3 \log 2 \] Isso implica que: \[ xyz = 2^3 \] Assim, o valor do produto \(xyz\) é: \[ xyz = 8 \] Portanto, o valor do produto \(xyz\) é \(8\).