Se \log x=a e \log 2=b, calcule: a) \log \sqrt{8 x} b) \log 5 c) \log 6,25 d) \log _{x} 10 e) \log _{2} x

Para resolver a questão, vamos usar as informações dadas: \(\log x = a\) e \(\log 2 = b\). Vamos analisar cada alternativa: a) \(\log \sqrt{8x}\) Podemos reescrever \(\sqrt{8x}\) como \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{x} = \sqrt{2^3} \cdot \sqrt{x} = 2^{3/2} \cdot x^{1/2}\). Assim, temos: \[ \log \sqrt{8x} = \log(2^{3/2} \cdot x^{1/2}) = \log(2^{3/2}) + \log(x^{1/2}) = \frac{3}{2} \log 2 + \frac{1}{2} \log x \] Substituindo os valores: \[ = \frac{3}{2}b + \frac{1}{2}a \] b) \(\log 5\) Não temos informações suficientes para calcular \(\log 5\) com os dados fornecidos. c) \(\log 6,25\) Podemos reescrever \(6,25\) como \(\frac{25}{4} = \frac{5^2}{2^2}\). Assim: \[ \log 6,25 = \log(5^2) - \log(2^2) = 2\log 5 - 2\log 2 \] Novamente, não temos informações suficientes para calcular. d) \(\log_{x} 10\) Usando a mudança de base: \[ \log_{x} 10 = \frac{\log 10}{\log x} = \frac{1}{a} \] e) \(\log_{2} x\) Usando a mudança de base: \[ \log_{2} x = \frac{\log x}{\log 2} = \frac{a}{b} \] Dentre as alternativas, a que podemos calcular diretamente com os dados fornecidos é a) \(\log \sqrt{8x} = \frac{3}{2}b + \frac{1}{2}a\). Portanto, a resposta correta é a).