Usando os processos de fatoração, encontre as soluções para as equações abaixo. a) $4 x^{2}+12 x+9=0$

Para resolver a equação \(4x^{2} + 12x + 9 = 0\) usando fatoração, vamos seguir os passos: 1. Identificar os coeficientes: Aqui, \(a = 4\), \(b = 12\) e \(c = 9\). 2. Fatorar a equação: Precisamos encontrar dois números que multiplicados dêem \(a \cdot c = 4 \cdot 9 = 36\) e que somados dêem \(b = 12\). Os números que satisfazem isso são \(6\) e \(6\). 3. Reescrever a equação: Podemos reescrever a equação como: \[ 4x^{2} + 6x + 6x + 9 = 0 \] 4. Agrupar os termos: \[ (4x^{2} + 6x) + (6x + 9) = 0 \] 5. Fatorar por partes: \[ 2x(2x + 3) + 3(2x + 3) = 0 \] 6. Fatorar o termo comum: \[ (2x + 3)(2x + 3) = 0 \] ou \[ (2x + 3)^{2} = 0 \] 7. Encontrar as soluções: Agora, igualamos a zero: \[ 2x + 3 = 0 \] \[ 2x = -3 \] \[ x = -\frac{3}{2} \] Portanto, a solução da equação \(4x^{2} + 12x + 9 = 0\) é \(x = -\frac{3}{2}\) (com multiplicidade 2).