Para provar que a função \( h(x) = f(x) - g(x) \) é derivável e que \( h'(x) = f'(x) - g'(x) \), vamos usar a definição de derivada. A definição de derivada de uma função \( h(x) \) em um ponto \( x \) é dada por: \[ h'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h(x + h) - h(x)}{h} \] Substituindo \( h(x) = f(x) - g(x) \): \[ h'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(f(x + h) - g(x + h)) - (f(x) - g(x))}{h} \] Isso pode ser reescrito como: \[ h'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x) - (g(x + h) - g(x))}{h} \] Agora, podemos separar as frações: \[ h'(x) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{f(x + h) - f(x)}{h} - \frac{g(x + h) - g(x)}{h} \right) \] Como \( f \) e \( g \) são deriváveis em \( x \), podemos aplicar a definição de derivada: \[ h'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} - \lim_{h \to 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h} \] Portanto, temos: \[ h'(x) = f'(x) - g'(x) \] Assim, provamos que \( h(x) = f(x) - g(x) \) é derivável e que \( h'(x) = f'(x) - g'(x) \).