Para encontrar a equação diferencial linear homogênea que admite a solução \( y = e^{3x} \), precisamos considerar a forma geral de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem: \[ y'' + p(x)y' + q(x)y = 0. \] Sabemos que se \( y = e^{rx} \) é uma solução, então \( r \) deve satisfazer a equação característica associada. Para \( y = e^{3x} \), temos \( r = 3 \). A equação característica será: \[ r^2 + p(r) + q = 0. \] Substituindo \( r = 3 \): 1. Para a opção \( y'' - 9y = 0 \): \( r^2 - 9 = 0 \) (não admite \( r = 3 \)). 2. Para a opção \( y'' - 3y + y = 0 \): \( r^2 - 3r + 1 = 0 \) (não admite \( r = 3 \)). 3. Para a opção \( y'' - 18y' + 12 = 0 \): \( r^2 - 18r + 12 = 0 \) (não admite \( r = 3 \)). 4. Para a opção \( 9y - 18y' = 0 \): \( 9y = 18y' \) (não é homogênea). 5. Para a opção \( y'' - 9y = 0 \): \( r^2 - 9 = 0 \) (não admite \( r = 3 \)). Nenhuma das opções apresentadas admite a solução \( y = e^{3x} \). A equação correta que admite essa solução seria da forma \( y'' - 9y = 0 \), mas como não está entre as opções, parece que há um erro nas alternativas apresentadas. Se precisar de mais ajuda, estou aqui!