faça um esboço das regiões planas delimitadas pela curva, em seguida, calcule a área de tais regiões: f(x)= x2 +x -2 e o eixo x

Para resolver a questão, vamos seguir os passos: 1. Encontrar os pontos de interseção entre a função \( f(x) = x^2 + x - 2 \) e o eixo \( x \): - Para isso, igualamos a função a zero: \[ x^2 + x - 2 = 0 \] - Resolvendo a equação, podemos fatorar: \[ (x - 1)(x + 2) = 0 \] - Assim, os pontos de interseção são \( x = 1 \) e \( x = -2 \). 2. Esboçar a curva: - A parábola abre para cima (coeficiente de \( x^2 \) é positivo). - Os pontos de interseção com o eixo \( x \) são \( (-2, 0) \) e \( (1, 0) \). - O vértice da parábola pode ser encontrado pela fórmula \( x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2} \). Substituindo na função, encontramos \( f(-\frac{1}{2}) = -\frac{9}{4} \). 3. Calcular a área entre a curva e o eixo \( x \): - A área \( A \) entre a curva e o eixo \( x \) de \( x = -2 \) a \( x = 1 \) é dada por: \[ A = \int_{-2}^{1} (f(x) - 0) \, dx = \int_{-2}^{1} (x^2 + x - 2) \, dx \] 4. Calcular a integral: - A integral é: \[ A = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x \right]_{-2}^{1} \] - Calculando os limites: \[ A = \left( \frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} - 2 \cdot 1 \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} + \frac{(-2)^2}{2} - 2 \cdot (-2) \right) \] \[ = \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 2 - 4 \right) \] \[ = \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{6} - \frac{12}{6} \right) - \left( -\frac{8}{3} - \frac{6}{3} \right) \] \[ = \left( \frac{1}{3} - \frac{9}{6} \right) + \left( \frac{14}{3} \right) \] \[ = \left( \frac{1}{3} - \frac{3}{2} \right) + \frac{14}{3} \] \[ = \frac{1}{3} - \frac{9}{6} + \frac{28}{6} = \frac{1 + 19}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \] Portanto, a área entre a curva \( f(x) \) e o eixo \( x \) é \( \frac{10}{3} \) unidades quadradas.