Para encontrar a derivada \(\frac{dy}{dx}\) da curva dada pela equação implícita \(x^3 + y^3 - 9xy = 0\), precisamos usar a regra da diferenciação implícita. 1. Diferenciando ambos os lados da equação em relação a \(x\): \[ \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(y^3) - \frac{d}{dx}(9xy) = 0 \] Isso resulta em: \[ 3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx} - (9y + 9x\frac{dy}{dx}) = 0 \] 2. Reorganizando a equação: \[ 3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx} - 9y - 9x\frac{dy}{dx} = 0 \] Agrupando os termos que contêm \(\frac{dy}{dx}\): \[ 3y^2\frac{dy}{dx} - 9x\frac{dy}{dx} = -3x^2 + 9y \] \[ (3y^2 - 9x)\frac{dy}{dx} = -3x^2 + 9y \] 3. Isolando \(\frac{dy}{dx}\): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{-3x^2 + 9y}{3y^2 - 9x} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \(\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 9y\) - Incorreta. b) \(\frac{dy}{dx} = 3y^2 - 9x\) - Incorreta. c) \(\frac{dy}{dx} = \frac{3y - x^2}{y^2 - 3x}\) - Incorreta. d) \(\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{3x}\) - Incorreta. e) \(\frac{dy}{dx} = \frac{-x^2}{y^2 - 3}\) - Incorreta. Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde à derivada que encontramos. Portanto, parece que a resposta correta não está entre as opções fornecidas. Você pode precisar revisar as alternativas ou verificar se a questão foi transcrita corretamente.